1.2.3.2空间中的垂直关系1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.答案D2．已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()．A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能解析由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.答案A3．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()．A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析 PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB. AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.答案A4．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，l∩平面PAB＝O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB＝90°⇔PA⊥PB.答案①③④⇒②或②③④⇒①5．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________．解析 AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.答案45°6．如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO＝，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB.证明由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又 二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又 AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB， CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()．A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.答案D8．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()．A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．答案D9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角．答案①②④10．如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.解析取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.答案211．已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F， 平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又 PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA. DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H. E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又 PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．12．(创新拓展)已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB...
