数列的极限【考点透视】一、考纲指要1．了解数列极限的概念，会用此定义证明简单数列的极限。2．掌握数列极限的四则运算法则.3．会求某些数列的极限。会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。二、命题落点1．近十年高考中，几乎每份试题都有数列极限题，运用数列极限的定义求极限，或根据极限定义证明简单数列极限。如例1。2．客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限，如例2和例3。3．解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.如例4和例5.4．数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列。【典例精析】例1：已知数列．（1）由观察指出它的极限的值；（2）写出的解析式；（3）这个数列中第几项以后的所有项都满足；（4）设，这个数列中第几项以后的所有项都满足．解析：本题考查数列极限的定义．（1）．（2）．（3）由，得，∴数列中第10项以后的所有项都满足．（4）由，知，设的整数部分为N，则数列第N项以后的所有项都有．例2：（1995·全国）等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn，若，则用心爱心专心等于（）A．1B．C．D．解析：已知，要求，肯定要用当，，但由已知，可设，，k为常数（为什么这样设？）由等差数列前n项和公式的特点，可设，，k为常数，则当时，∴一般地证明：（两等差数列对应项的比的极限等于对应的前n项和之比的极限均等于公差比）．例3：（2004·北京文史类）函数定义在［0，1］上，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是平行于x轴的直线的一部分。（1）求及，的值，并归纳出的表达式（2）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），求及的值．解析：本小题主要考查函数、数列等基本知识，体现了数学知识交汇性，考查分析问题和解决问题的能力，是一道既考知识、又考能力的活题。（1）由，得．由及，得．同理，．归纳得．（2）当时，，，用心爱心专心，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．该题的形式新颖，其考查目的也明确，正确解答，可考查其数学能力，是一道十分理想的中等难度的试题．【常见误区】1．数列极限的运算法则成立的前提条件是：数列的极限都存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。运算法则都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个，即有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。2．在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。3．两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。4．对于极限，在掌握有关基本知识的前提下，应牢固掌握几个重要极限：（1）（C是常数），．（2）qn=0，（|q|＜1），（3）（4）当|q|＜1时，无穷等比数列所有项和S＝Sn＝．（5）用心爱心专心
