第一节不等式第2课时基本不等式一、选择题1．若a，b∈R＋，且a＋b＝2，则＋的最小值为()．A．1B．2C.D．4答案B2．函数y＝log2(x＞1)的最小值为()．A．－3B．3C．4D．－4解析x＞1，x－1＞0，y＝log2＝log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.答案B3．若a，b，c＞0且(a＋b)(a＋c)＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()．A.－1B.＋1C．2＋2D．2－2解析(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2－2.当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立．答案D4．在下列函数中最小值是2的是()．A．y＝＋(x∈R且x≠0)B．y＝lgx＋(1＜x＜10)C．y＝3x＋3－x(x∈R)D．y＝sinx＋解析A中的函数式，与都不一定是正数，故可排除A；B中的函数式，lgx与都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lgx＝，即x＝10与10,3－x＝>0，∴运用基本不等式取等号的条件是3x＝，而x＝0成立，故选C.D中，∵01，sinx≠.答案C二、填空题5．设0＜a＜1,0＜b＜1且a≠b，则下列数中①a2＋b2；②2ab；③2；④＋；⑤a＋b最大的数是________；最小的数是________．答案④②6．若x，y，z∈R＋，则x－2y＋3z＝0，的最小值是________．解析由x－2y＋3z＝0，得y≥＝，将其代入，得＝3，当且仅当x＝3z“”时取＝．答案37．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为________吨．解析每年购买次数为次．所以总费用＝·4＋4x≥2＝160.当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．答案208．对任意锐角θ≥，都有＋λ恒成立，则λ的最大值为________．解析由二元均值不等式，得≥＋2≥＝2.答案2三、解答题9．已知a，b∈(0∞，＋)，求证：(a＋b)≥4.证明∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，当且仅当a＝b时，取等号．①≥＋2＞0，当且仅当＝，即a＝b时取等号．②①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，取等号．10．已知直线l过点(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当△AOB的面积最小时，直线l的方程．解如图所示，设直线l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－3)．当x＝0时，y＝－3k＋2；当y＝0时，x＝－＋3.∴S△AOB＝(－3k＋2)＝.∵直线l与x轴和y轴的正半轴分别相交，∴k＜0，得－9k＞0，－＞0.∴S△AOB＝≥＝12.当且仅当－9k＝－，即k＝－时，S△AOB有最小值12.因此所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.11．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？解设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴y＝240≥240×2＝3840，当且仅当x＝，即x＝8时取等号．故每人最少应交＝80(元)．
