1-4-2(二)空间图形的公理1．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为()．A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析由等角定理不难知α，β相等或互补．所以β＝60°或120°.答案D2．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ.则下列结论中不正确的为()．A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形解析当λ＝μ时，EH綉FG，∴EFGH为平行四边形，故D中结论不正确．答案D3．四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与BC所成的角为()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析如图，取BD中点G，连结EG，则∠EFG为异面直线EF与BC所成角． EG＝AD，GF＝BC，∴EG＝GF. AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，∴EG⊥GF，∴△EGF为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.故选B.答案B4．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．解析根据图知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)中应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”．所以(1)中应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，B1∈平面A1B1B且B1∉A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以(2)(4)中应该填“异面”．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．下列命题正确的序号是________．①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线；②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形；③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形；④四边都相等的四边形都是菱形；⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．解析由空间四边形的定义知命题①、②、③都是真命题．空间四边形的四条边可以相等故命题④为假命题．关于命题⑤可构造正方体ABCDA1B1C1D1，如图，∠D1AB＝∠ABC＝∠BCD1＝90°，但∠AD1C＝60°，四边形ABCD1不是矩形，故⑤为假命题．答案①②③6．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且满足＝＝，＝＝2.(1)求证：四边形EFGH是梯形；(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．(1)证明 ＝＝，∴EH綉BD. ＝＝2，∴FG綉BD.∴EH綉FG，所以四边形EFGH是梯形．(2)解 BD＝a，∴EH＝a，FC＝a，∴梯形EFGH的中位线的长为(EH＋FG)＝a.7．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()．A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．答案D8．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是()．A．MN≥(AC＋BD)B．MN≤(AC＋BD)C．MN＝(AC＋BD)D．MN＜(AC＋BD)解析如图所示，取BC中点E，连接ME，NE，⇒MN<(AC＋BD)．答案D9．在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状为________．解析E、F、G、H分别为所在边的中点，由中位线性质知，EF綉AC，GH綉AC，∴EF綉GH.∴四边形EFGH为平行四边形．又AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，且EF⊥FG.∴四边形EFGH为正方形．答案正方形10．异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b所成角的范围是________．解析如图，c与a成30°，即c与a′成30°，然后让c绕着点A转动，转动过程中，c与a′始终成30°角，不难发现在c转动过程中，c与b所成角最小为60°，最大为90°.答案[60°，90°]11．如图，正方体ABCDA1B1C1D1，求A1B与B1D1所成的角．解如图，连结BD、A1D. ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1綉BB1，∴DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1， A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1...
