1．5二项式定理1．5.1二项式定理1．在6的展开式中x2的系数是________．解析设展开式中第r＋1项是x2项，则由Tr＋1＝C6－r·(－2x)r＝(－2)rCx2r－6，得2r－6＝2，解得r＝4.∴x2项系数为(－2)4C＝16×15＝240.答案2402．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________.解析设第r＋1项的系数为，则Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C＝，∴a3＝8，a＝2.答案23.6的展开式中，x3的系数等于________．解析6的通项为Tr＋1＝C6－rr＝C(－1)rx6－ryr－3，令6－r＝3，得r＝2，r－3＝0，故x3的系数为C(－1)2＝15.答案154.7的展开式中倒数第三项为________．解析由于n＝7，可知展开式中共有8项，∴倒数第三项也为正数第六项．∴T6＝C(2x)25＝22·C·.答案5．已知(1＋ax)5＝1＋10x＋bx2…＋＋a5x5，则b＝________.解析根据题意知，二项展开式的第二项为C·ax＝10x，∴a＝2.第三项为C·(ax)2＝bx2，即b＝40.答案406．如果2n的展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．解由已知可得C＝C，所以3＋5＝2n，即n＝4.所以展开式中的通项为Tr＋1＝Cx8－2r，若它为常数项，则r＝4，所以T5＝C＝70.7.n的展开式中，常数项为15，则n＝________.解析n的通项为Tr＋1＝Cx2(n－r)·(－1)r·x－r＝(－1)r·C·x2n－3r.令2n－3r＝0，则2n＝3r，即r＝n.当n＝3时，r＝2，Tr＋1≠15，当n＝6时，r＝4，Tr＋1＝15.答案68．(1＋2x2)8的展开式中的常数项为________．解析设8的第r＋1项为Tr＋1＝(－1)rCx8－2r.则令8－2r＝0，得r＝4；令8－2r＝－2，得r＝5.故原式展开式中常数项为1×(－1)4C＋2×(－1)5C＝－42.答案－429．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)＝________.解析f(x)＝C(2x＋1)5＋C(2x＋1)4·(－1)＋C(2x＋1)3·(－1)2＋C(2x＋1)2·(－1)3＋C(2x＋1)·(－1)4＋C(－1)5＝(2x＋1－1)5＝32x5.答案32x510．(1－)4(1＋)4的展开式中x项的系数是________．解析∵(1－)4(1＋)4＝(1－x)4，∴展开式中含x的项为C(－x)1＝－4x，故展开式中x项的系数为－4.答案－411．在(3－x)20(x∈R，x≠0)的展开式中，已知第2r项与第r＋1项(r≠1)的二项式系数相等．(1)求r的值；(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等，求x的值．解(1)由题意知C＝C，即2r－1＝r或2r－1＝20－r，解得r＝7或r＝1(舍去)．(2)Tr＝C·321－r·(－x)r－1，当r＝7时，T7＝C·314·x6，倒数第7项，即T15＝C·36·x14，由题意C·314·x6＝·C·36·x14，解得x＝±6.12．(x＋)100展开式所得关于x的多项式中系数为有理数的共有多少项？解，若第k＋1项的系数为有理数，则50－，均为整数，故k为6的倍数时，第k＋1项的系数为有理数．∵0≤k≤100，∴k＝6×0,6×1,6×2…，，6×16时，项的系数为有理数，故有17项系数为有理数．13．(创新拓展)求10展开式中的常数项．解∵10＝10，则其通项为：Tk＋1＝C·k，(其中k＝0,1,2…，，9)．要求原式的常数项，则需要求k的展开式中的常数项．∵Tr＋1＝C·ak－r·a－2r＝C·ak－3r(其中r＝0,1，2…，，k)．由题意，令k－3r＝0，则k＝3r，即k是3的倍数，所以k＝0,3,6,9.当k＝0时，C＝1.当k＝3时，r＝1，C·C＝360.当k＝6时，r＝2，C·C＝3150.当k＝9时，r＝3，C·C＝840.所以原式展开式中的常数项是C＋C·C＋C·C＋C·C＝4351.
