1.5二项式定理1.5.1二项式定理1.在6的展开式中x2的系数是________.解析设展开式中第r+1项是x2项,则由Tr+1=C6-r·(-2x)r=(-2)rCx2r-6,得2r-6=2,解得r=4.∴x2项系数为(-2)4C=16×15=240.答案2402.若6的二项展开式中x3的系数为,则a=________.解析设第r+1项的系数为,则Tr+1=C(x2)6-rr=Cx12-3r,令12-3r=3,得r=3,∴C=,∴a3=8,a=2.答案23.6的展开式中,x3的系数等于________.解析6的通项为Tr+1=C6-rr=C(-1)rx6-ryr-3,令6-r=3,得r=2,r-3=0,故x3的系数为C(-1)2=15.答案154.7的展开式中倒数第三项为________.解析由于n=7,可知展开式中共有8项,∴倒数第三项也为正数第六项.∴T6=C(2x)25=22·C·.答案5.已知(1+ax)5=1+10x+bx2…++a5x5,则b=________.解析根据题意知,二项展开式的第二项为C·ax=10x,∴a=2.第三项为C·(ax)2=bx2,即b=40.答案406.如果2n的展开式中第4项与第6项的系数相等,求n及展开式中的常数项.解由已知可得C=C,所以3+5=2n,即n=4.所以展开式中的通项为Tr+1=Cx8-2r,若它为常数项,则r=4,所以T5=C=70.7.n的展开式中,常数项为15,则n=________.解析n的通项为Tr+1=Cx2(n-r)·(-1)r·x-r=(-1)r·C·x2n-3r.令2n-3r=0,则2n=3r,即r=n.当n=3时,r=2,Tr+1≠15,当n=6时,r=4,Tr+1=15.答案68.(1+2x2)8的展开式中的常数项为________.解析设8的第r+1项为Tr+1=(-1)rCx8-2r.则令8-2r=0,得r=4;令8-2r=-2,得r=5.故原式展开式中常数项为1×(-1)4C+2×(-1)5C=-42.答案-429.设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则f(x)=________.解析f(x)=C(2x+1)5+C(2x+1)4·(-1)+C(2x+1)3·(-1)2+C(2x+1)2·(-1)3+C(2x+1)·(-1)4+C(-1)5=(2x+1-1)5=32x5.答案32x510.(1-)4(1+)4的展开式中x项的系数是________.解析∵(1-)4(1+)4=(1-x)4,∴展开式中含x的项为C(-x)1=-4x,故展开式中x项的系数为-4.答案-411.在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第2r项与第r+1项(r≠1)的二项式系数相等.(1)求r的值;(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等,求x的值.解(1)由题意知C=C,即2r-1=r或2r-1=20-r,解得r=7或r=1(舍去).(2)Tr=C·321-r·(-x)r-1,当r=7时,T7=C·314·x6,倒数第7项,即T15=C·36·x14,由题意C·314·x6=·C·36·x14,解得x=±6.12.(x+)100展开式所得关于x的多项式中系数为有理数的共有多少项?解,若第k+1项的系数为有理数,则50-,均为整数,故k为6的倍数时,第k+1项的系数为有理数.∵0≤k≤100,∴k=6×0,6×1,6×2…,,6×16时,项的系数为有理数,故有17项系数为有理数.13.(创新拓展)求10展开式中的常数项.解∵10=10,则其通项为:Tk+1=C·k,(其中k=0,1,2…,,9).要求原式的常数项,则需要求k的展开式中的常数项.∵Tr+1=C·ak-r·a-2r=C·ak-3r(其中r=0,1,2…,,k).由题意,令k-3r=0,则k=3r,即k是3的倍数,所以k=0,3,6,9.当k=0时,C=1.当k=3时,r=1,C·C=360.当k=6时,r=2,C·C=3150.当k=9时,r=3,C·C=840.所以原式展开式中的常数项是C+C·C+C·C+C·C=4351.