1.5.2二项式系数的性质及应用1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6…＋＋a1x＋a0，则a7＋a6…＋＋a1＝________.解析令x＝1得a7＋a6…＋＋a1＋a0＝128，令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a7＋a6…＋＋a1＝129.答案1292.n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．解析只有第五项的二项式系数最大，所以n＝8.通项Tr＋1＝C8－r＝(－1)r2r－8C，令＝0得r＝6.所以常数项为(－1)626－8C＝7.答案73．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x的系数为________．解析由已知可得展开式的系数也为二项式系数，故2n＝32，∴n＝5，此时展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－3k，令10－3k＝1得k＝3.故展开式中x项的系数为C＝10.答案104．1＋3＋32…＋＋399被4除，所得的余数为________．解析1＋3＋32…＋＋399＝＝(3100－1)＝[(4－1)100－1]＝(4100－C499…＋＋C·42－C·4＋1－1)＝8(498－C497…＋＋C－25)显然能被4整除，故余数为0.答案05．若(1＋5x2)n的展开式中各项系数之和是an，(2x3＋5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则的值为________．解析由已知可得an＝(1＋5)n＝6n，bn＝2n，∴＝＝.答案6．若n展开式中前三项的系数成等差数列．求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中系数最大的项．解由已知条件知：C＋C·＝2C·，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝C·()8－r·r＝.令4－r＝1，解得r＝4.∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.(2)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，则有tk≥tk＋1，且tk≥tk－1.又tr＝C·2－r＋1，于是有即∴解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7·和第4项T4＝7·.7．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为________．解析展开式的通项公式Tk＋1＝C·28－k·(－)k＝(－1)kC28－k·x.由＝4得k＝8，则含x4项的系数为1.令x＝1得展开式所有项的系数和为(2－)8＝1.故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.答案08．1－90C＋902C－903C…＋＋(－1)k90kC…＋＋9010C除以88的余数是________．解析原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C889…＋＋C88＋1.因为前10项均能被88整除，故余数为1.答案19．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3…＋＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a8x8，则a1＋a2＋a3…＋＋a8＝________.解析令x＝1得a0＋a1＋a2…＋＋a8＝2＋22＋23…＋＋28＝＝510，令x＝0得a0＝8，∴a1＋a2＋a3…＋＋a8＝502.答案50210．若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则C－C＋C…－＋(－1)n··C＝________.解析由已知第5项的二项式系数最大，则n＝8，又C－C＋C…－＋(－1)nC＝n＝8＝.答案11．(1)求证：4×6n＋5n＋1－9是20的倍数(n∈N＋)；(2)今天是星期一，再过3100天是星期几？(1)证明4×6n＋5n＋1－9＝4·(5＋1)n＋5·(4＋1)n－9＝4(C5n＋C5n－1…＋＋C5＋1)＋5(C4n＋C4n－1…＋＋C4＋1)－9＝20[(C5n－1＋C5n－2…＋＋C)＋(C4n－1＋C4n－2…＋＋C)]，故结论成立．(2)解∵3100＝950＝(7＋2)50＝C·750·20＋C·749·21…＋＋C·7·249＋C·70·250＝7Mn＋250(Mn∈N＋)，又250＝23×16＋2＝4×816＝4(1＋7)16＝4(C＋7C＋72C…＋＋716C)＝4＋7Nn(Nn∈N＋)，∴3100被7除余数是4，故再过3100天是星期五．12．在8的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项．解Tr＋1＝C·()8－rr＝(－1)r·C·.(1)设第r＋1项系数的绝对值最大．则∴⇒5≤r≤6，故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T5＝C·24·＝1120x－6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1792x－11.(4)系数最小的项为T6＝－C·13．(创新拓展)(1)已知(1－2x)2008＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a2008x2008(x∈R)，求a0＋a1＋a2…＋＋a2008的值；(2)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a13x13＋a14x14，求a1＋a3＋a5…＋＋a13的值．解(1)令x＝1，则(1－2x)2008＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a2008x2008变为(1－2)2008＝a0＋a1＋a2…＋＋a2008，∴a0＋a1＋a2…＋＋a2008＝1.(2)分别令x＝1及x＝－1，可得两式相减，用上式减下式可得2(a1＋a3…＋＋a13)＝27－67，∴a1＋a3＋a5…＋＋a13＝(27－67)．
