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2024-09-29 发布于山西
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第二讲证明不等式的基本方法第一节比较法一、选择题1．若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1)(k∈N*)的符号()．A．恒正B．恒负C．与k的奇偶性有关D．与a，b大小无关解析(abk＋akb)－ak＋1－bk＋1＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)∵a>0，b>0，若a>b，则ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；若aQD．P0，Q>0，∴P≤Q.答案B3．对x1>x2>0,0y1y2B．x1x2＝y1y2C．x1x2b2”“是a>b”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当a2>b2时，a2－b2>0，即(a＋b)(a－b)>0，当a，b同为正时，有a>b；当a、b同为负时，ab2时，不一定有a>b成立．反之，当a>b时，也不一定有a2>b2，例如1>－2，而12<(－2)2.答案D二、填空题5．若c＞a＞b＞0，比较大小：________(“”“”“”填＞＝或＜)解析∵c＞a＞b＞0，∴c－b＞c－a＞0，∴＞＞0，又∵a＞b＞0，∴＞.答案＞6．设m＝，n＝，那么它们的大小关系是m________n.解析＝＝＝＝1，∴m＝n.答案＝7．下列四个不等式：①a<05，则－与－的大小关系是_________________．解析因为a>5，只需比较＋与2的大小，两数平方，即比较与a－4的大小，再平方，只需比较a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小．答案－<－三、解答题9．设a、b∈(0∞，＋)，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．解＋－(a＋b)＝(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，∵a、b∈(0∞，＋)，且a≠b，∴a＋b，(a－b)2，(a2＋ab＋b2)，均为正数，∴＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.10．设m∈R，a>b>1，f(x)＝，比较f(a)与f(b)的大小．解f(a)－f(b)＝－＝.∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0，∴<0.当m>0时，<0，f(a)0，f(a)>f(b)；当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b)．11．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．证明由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b≥时，，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a0.所以a3＋b3≥(a2＋b2)．

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