习题课椭圆的标准方程双基达标限时15分钟1．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过点F1，且△ABF2的周长为8，则k＝________.解析由4a＝8，得a＝2，所以k＋2＝a2＝4，从而k＝2.答案22“．m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．解析mx2＋ny2＝1可化为＋＝1.因为m>n>0，所以0<<，因此椭圆焦点在y轴上，反之也成立．答案充要3．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则PF1·PF2＝________．解析S△PF1F2＝b2＝PF1·PF2，故PF1·PF2＝48.答案484．在椭圆方程中，若已知a>b>0，且a＝2b，椭圆过P(2，0)，则椭圆的标准方程为________．解析当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，即＋＝1，将x＝2，y＝0代入得＝1，b2＝1，故得椭圆方程为＋y2＝1，当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，即＋＝1，将x＝2，y＝0，代入得b2＝4故得椭圆方程为＋＝1.答案＋y2＝1或＋＝15．若方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围为__________．解析方程变形为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则，∴k<－2或k>2.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．椭圆＋＝1上任意一点P，M(0，6)，N(0，－6)在椭圆上，求证：直线PM、PN的斜率乘积为一定值．证明设P(x，y)，则有＋＝1，得＝∴＝－＝－.又kPM＝(x≠0)，kPN＝(x≠0)，∴kPM·kPN＝·＝＝－.故直线PM、PN的斜率之积为一定值．综合提高限时30分钟7．已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项．则椭圆的标准方程为__________．解析由题意得，F1F2＝2，又2F1F2＝PF1＋PF2，∴PF1＋PF2＝4.∴a＝2，c＝1，故b＝.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案＋＝18．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，AB是经过焦点F1的弦且AB＝8，若2a＝10，则F2A＋F2B的值为______．解析∵A、B在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得AF1＋AF2＝10，BF1＋BF2＝10，两式相加得AB＋F2A＋F2B＝20.又∵AB＝8，∴F2A＋F2B＝12.答案129．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析设PF1＝r1，PF2＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－r12－r22＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝9＝b2，∴b＝3.答案310．若α∈(0，)，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析转化为椭圆的标准方程＋＝1，焦点在y轴上，则>，故sinα>cosα，<α<.答案<α<11．如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解由已知得a＝2，b＝，∴c＝＝＝1，F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得PF22＝PF12＋F1F22－2PF1F1F2cos120°，即PF22＝PF12＋4＋2PF1①由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，即PF2＝4－PF1②②代入①解得PF1＝.∴S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.12．已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1，1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA|的最小值．解由椭圆方程5x2＋9y2＝45，可知a2＝9，b2＝5，c2＝4，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，如图所示．P为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝6.而|PF1|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋|PF2|－|PF2|＝6－(|PF2|－|PA|)．在△PAF2中，|PF2|>|PA|，|PF2|－|PA|<|AF2|，当且仅当P、A、F2三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝.所以当P、A、F2三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为6－.13．(创新拓展)设x、y∈R，i、j分别为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.(1)求点M(x，y)的轨迹方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C(为(1)问中点M的轨迹)交于A、B两点，设OP＝OA＋OB，是否存在这样的直线l使得四边形OAPB是矩形？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．解(1)由|a|＋|b|＝8，得＋＝8，即点M(x，y)到两定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离和为定值8，且|F1F2|<8.所以点M的轨迹是椭圆，其方程为＋＝1.(2)设l的斜率为k，l的方程为y＝kx＋3，代入椭圆方程得＋＝1，即(3k2＋4)x2＋18kx－21＝0.设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝－，OP＝OA＋OB，四边形OAPB是平行四边形．要使其是矩形只需OA⊥OB即可，即x1x2＋y1y2＝0.y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9，所以(1＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0，＋＋9＝0，解得k2＝，即k＝±.所以l存在，其方程为y＝±x＋3.
