习题课椭圆的几何性质双基达标限时15分钟1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是________．解析由题意可得2＝2×2，解得m＝.答案2．在△ABC中，|AB|＝|BC|，cosB＝－，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________．解析设|AB|＝|BC|＝1，又cosB＝－，则|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|·cosB＝，所以|AC|＝，则2a＝1＋＝，2c＝1，e＝＝.答案3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 MF1·MF2＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立，由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴b>c，∴c2
2c2，∴()2<，∴e＝<.又 0b>0)，由已知得a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的标准方程为＋＝1.答案＋＝16．在椭圆＋＝1上找一点P，使它到点A(1，0)的距离最短，并求出这个距离．解设点P的坐标为(x0，y0)且－2≤x0≤2，则|AP|＝＝， 点P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，∴y02＝9－x02代入得|AP|＝＝， x0∈[－2，2]，∴当x0＝2时，|AP|min＝1，此时点P的坐标是(2，0)．综合提高限时30分钟7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，椭圆的离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．解析由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，又＝，即c＝a，∴a2－c2＝a2＝b2＝16，∴a＝5，∴△ABF2的周长为20.答案208．已知椭圆＋＝1(m>0)，若直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m＝________.解析M，c＝，∴＋＝1，解得m＝2.答案29．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2，0)、(0，1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.答案10．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________．解析法一如图所示，过点F1作F1P⊥AB，交AB于P，AB＝，AF1＝a－c，F1P＝，由△AF1B面积公式得·＝(a－c)·b.又 b2＝a2－c2，∴整理得8c2－14ac＋5a2＝0.∴8×－14×＋5＝0，即8e2－14e＋5＝0.∴e＝或e＝(舍去)．法二由题意得，直线AB的方程是：bx－ay＋ab＝0.则点F1到直线AB的距离为：d＝＝＝整理得：5a2－14ac＋8c2＝0，∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)．答案11．在椭圆上存在一点P，它与椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率e的取值范围．解如图，设P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，A(a，0)，则由OP⊥PA，得x02＋y02－ax0＝0，又因为＋＝1，消去y02，得x02－ax0＋b2＝0，解得x0＝a(舍去)或x0＝，因为02b2＝2(a2－c2)，所以a2<2c2，e2＝>，所以b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．解方法一(1)令F1(－c，0)，F2(c，0)，则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，所以kPF1·kPF2＝－1，则·＝－1，解得c＝5.所以椭圆方程为＋＝1.因为点P(3，4)在椭圆上，所以＋＝1.解得a2＝45或a2＝5.又a>c，所以a2＝5舍去．故所求椭圆方程为＋＝1.方法二因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2为直角三角形．所以|OP|＝|F1F2|＝c.又|OP|＝＝5，所以c＝5.所以椭圆方程为＋＝1(以下同方法一)．(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，所...
