圆锥曲线教学目标（1）通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义；（2）通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义；（3）能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义．教学重点，难点（1）椭圆、抛物线、双曲线的定义；（2）用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．教学过程一．问题情境1．情境：我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。提出问题：2．问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？二．学生活动学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于第一种情况，可在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为1F，2F），且与圆锥面的侧面相切，两球与圆锥面的侧面的公共点分别构成圆1O和圆2O．设点M是平面与圆锥面的截线上任意一点，过M点作圆锥面的一条母线，分别交圆1O，圆2O与P，Q两点，则MP和1MF，MQ和2MF分别是上下两球的切线．因为过用心爱心专心MQF2PO1O2图VF1球外一点作球的切线长相等，所以1MFMP，2MFMQ，所以12MFMFMPMQPQ．因为PQVPVQ，而VP，VQ是常数，所以PQ是一个常数．即截线上任意一点到两个定点1F，2F的距离的和等于常数．说明：对用Dandelin双球理论发现椭圆的特性，可直接给出放进双球后的图形，再由学生发现＂到两点距离之和为定值＂的特征，可以直接演示说明，不必花费过多时间和精力，只要让学生感知、认同即可．三．建构数学1．椭圆的定义：平面内到两定点1F，2F的距离和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F，2F叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．说明：（1）定义中的定值要大于12FF，否则不是椭圆．若定值等于12FF，则点的轨迹是线段12FF；若定值小于12FF，则点的轨迹不存在．（2）建议对与Dandelin双球理论可作简单介绍，主要利用把细绳两个端点分别固定在1F，2F点，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上移动，画出椭圆，来帮助学生理解椭圆的定义．2．双曲线的定义：（类比椭圆的定义）平面内到两定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（大于0，小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F，2F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．说明：定义中的定值要小于12FF，否则不是双曲线．若定值等于0，则点的轨迹为线用心爱心专心段12FF的中垂线；若定值等于12FF，则点的轨迹是两条射线；若定值大于12FF，则点的轨迹不存在．3．抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线定点叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．说明：（1）F不在l上，若F在l上，则点的轨迹为过F与l垂直的直线．（2）我们常利用下面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么：椭圆：动点M满足的式子：122MFMFa（122aFF的常数）；双曲线：动点M满足的式子：122MFMFa（1202aFF的常数）；抛物线：动点M满足的式子：MFd（d为动点M到直线L的距离）．四．数学运用1．例题：例1．试用适当的方法作出以两个定点F1，F2为焦点的一个椭圆．解：细绳两个端点分别固定在F1，F2点，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上移动，画出椭圆．思考：在椭圆的定义中，如果这个常数小于或等于12FF，动点的轨迹又如何呢？例2．已知B，C是两个定点，4BC,且ABC的周长等于10，求证：定点A在一个椭圆上．证明：由题意可知：6ABACBC，所以定点A在一个椭圆上．例3．已知定点F和定直线l，F不在直线l上，动圆M过F且与直线l相切，求证：圆心M的轨迹是一条抛物线．证明：由题意可知：因为动圆M过F且与直线l相切，所以圆心M到点F的距离等于圆心M到直线l的距离，所以圆心M的轨迹是一条抛物线．2．练习：22P练习１五．回顾小结：1．椭圆、抛物线、双曲线的定义；2．用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．用心爱心专心MFl
