椭圆的几何性质本讲的主要内容1．能够根据方程，讨论曲线的范围、对称性、特殊点……2．掌握椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点、离心率、准线和准线的方程及其几何意义，以及椭圆可由其焦点、准线和离心率确定。3．了解椭圆的参数方程。4．能够根据条件利用工具画出椭圆的图形，并了解椭圆的初步应用。学习指导1．本讲的重点、难点是什么？重点：椭圆的几何性质。难点：椭圆的离心率、准线方程与椭圆的关系以及椭圆的应用。2．学习椭圆的准线，要注意些什么？（1）弄清椭圆与它的两条准线的位置关系：两条准线垂直于椭圆的长轴所在的直线，椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在的直线与椭圆的中心对称。（2）巧记准线方程，首先记住准线与椭圆中心的距离是，然后根据准线的位置（指垂直于x轴还是垂直于y轴）写出准线的方程。（3）掌握准线的性质，椭圆上任何一点到焦点的距离与它到准线的距离之比等于离心率e，这里e是一个大于0且小于1的常数。（4）知道焦点到相应准线的距离叫做焦准距，记作P，另知.例题精讲例1．已知椭圆的两个顶点的坐标为（±4，0），离心率为，求这个椭圆的方程。[分析]由已知两个顶点有可能是椭圆长轴上的两个顶点，也有可能是短轴上的两个顶点，故应分两种情况来解。[解]当已知的两个顶点为椭圆长轴上的两个顶点时，设它的方程为 a=4，，∴c=2。 b2=a2-c2=16-4=12。∴所求椭圆方程为。当已知的两个顶点为椭圆短轴上的两个顶点时，设它的方程为。1 b=4，，且a2=b2+c2，∴a2=42+()2.解得。∴所求椭圆方程为。综上可知，所求的椭圆方程为或。[解题后的点拨]本题由题意应有两个解，在解题前应先由已知条件作出正确的判断，千万不要丢解。例2．在椭圆上求一点P，使它到直线l：3x+4y=50的距离最大或最小。[分析]这是一个求最值的问题，这样的题一般有两种解法：一是利用椭圆的参数方程，则可设椭圆上任意一点，然后借助三角函数的值域，从而求出其最值；二是利用数列结合的思想我们发现，与直线l平行且与椭圆相切的直线，其切点到直线l的距离即为我们要求的最值。[解法一]设椭圆上点，（0≤θ<2π）则点P到直线l的距离为：==当时，，这时，点P的坐标为（）；当时，，这时，点P的坐标为（）。[解法二]如图，设与直线l平行的直线的方程为：3x+4y+m=0，则当在l1位置（或l2位置时）；直线与椭圆相切，切点到直线l的距离最大（或最小）。由3x+4y+m=0得代入，化简整理得①当时，解得，代入①式得，分别代入得。∴，。2∴当P点的坐标为时，。当P点的坐标为时，。[解题后的点拨]以上两种方法希望大家都能很好的掌握，相比较起来方法会更简单一些，虽然教材中对椭圆的参数方程要求不高，也没做过多的讲解，但它在解某些题的时候用起来还是很方便的，希望大家注意这方面的练习。例3．设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。[分析]由题意所求椭圆方程为，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离为，因此本题是求最值的逆向问题，解题时可先按最值问题处理，再根据最大值为确定待定参数的值，从而求解。[解]由于，故，于是椭圆方程可设为。设是该椭圆上任意一点，则点m到点P（0，）的距离d有：=。由于-b≤y≤b，故（1）当时，y=-b，d2最大，于是，依题意，解得，但由于，与前提矛盾，故舍去。（2）当b≥时，，d2最大，于是，依题意，解得，，故所求椭圆方程为。把代入椭圆方程，得，∴所求P点的坐标为与。[解题后的点拨]本题有几个关键的地方：一是由离心率e，导出、的关系，从而使设椭圆方程时可以少一个参数，这是非常常用的方法一定要掌握；另外由于-b≤y≤b，故应对b进行分类讨论，这也是大家应注意的。例4．设椭圆的中心在原点O，两个焦点在坐标轴上，直线y=x+1与此椭圆相交于P、Q两点，3并且OP⊥OQ；，求这个椭圆的方程。[分析]由题意两个焦点在哪个坐标轴上并不能确定，故标准方程要取两种形式，本题主要考查的是直线与椭圆的位置关系，注意交于P、Q两点则Δ>0别忘了考虑，OP⊥OQ，可利用来解决。[解]设所求椭圆方程把y=x+1代入上椭圆方程中，...
