两个平面平行的判定和性质[基础知识]平等位置关系相交两个平面判定两个平面平行性质[解析1]两个不重合的平面，按照有无公共点来分，只有平行和相交两种。无公共点，则两平面平行，有一个公共点，则两平面相交于经过这一点的一条直线，即有无数个公共点，两个平面相交。[解析2]两个平面平行的判定，共有三种判定方法：一是定义；二是判定定理；三是书上P35的例1，也可当作判定定理。[解析3]两个平面平行的性质，共有三条：一是由面面平行及线面平行的定义得到的结论，则；二是性质定理；三是书上P36例2，也可作为性质定理。这三条性质可由面面平行推出线面平行、线线平行和线面垂直，是十分重要定理。本节中还有三个概念：两个平行平面的公垂线、公垂线段和两个平行平面的距离。[学习指导]1.如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合，对吗？不对。如果两个平面有一个公共点，根据公理二它们必相交于过这点的直线，此时有无数个公共点，两平面并不重合。而如果两个平面有不在同一直线的三个公共点，根据公理三，这两个平面重合。2.经过平面外一点能否作出和已知平面平行的平面？可以，经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。这是一个唯一性结论。3.在初中平面几何中，有关平行直线的一些结论，能否类比地推广到平行平面中？可以有这样几个结论：(1)夹在两个平行平面间的平行线段相等。(2)两条直线被三个平行平面所截，那么所截得的对应线段成比例。(3)平行于同一平面的两平面平行。(4)一条直线和两个平行平面相交，它和两个平面所成的角相等。这样结论都是经过证明成立的。14.你能否将线线平行，线面平行，面面平行三种位置关系进行比较，找出其中的联系？这三种位置关系之间渗透着转化的思想，可以用下图表示：[例题精析]例1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD//平面CD1B1；(2)求平面A1BD和平面CD1B1的距离.[分析]本题证两个平面平行，可以采用两种方法来证，一是证一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面；另一是证两个平面都垂直于同一直线。在求两平行平面距离时，关键找垂足，确定公垂线段，求长度。[证明]连结AC1，AC1和平面A1BD和平面CB1D1分别交于M、N(1)证法1：，证法2：，∴，同理，∴平面.(2)由证法2可知是平面和平面的公垂线，垂足分别为、，线段MN的长度是两平行平面间的距离。在，∴2∴同理，∴，∴两平行平面间的距离为.[解题后的点拨]此题说明证面面平行的两种方法的运用，并充分利用了前面我们所讲述的正方体的对角线和与它成异面直线的面对角线相互垂直的结论，在求距离时，特别体现出将立体图形转化成平面图形来求的思想。此题中求两个平行平面的距离，也可转化为求两条异面直线的距离。例如：异面直线，，的距离也为。这就是在第二讲空间直线中，我们曾经给同学们介绍的求异面直线距离转化为求平行平面间的距离的方法。即两条异面直线分别放在两个相互平行的平面内，则平行平面间距离即为异面直线间距离。如图5—2，，∴为两平行平面间的距离，也是两异面直线间的距离。例2．上的点，求[分析]要证线面平行，须在平面内找一条直线与面外线平行，即找线线平行，这是解决这道题的关键。[证明]证法1：过M作，交连结PQ， ，∴∴∴，∴四边形是平行四边形，3∴，∴.证法2：过作，交. ,∴, ,∴,∴,∴,∴.同理，∴平面∴.[解题后的点拨]由上述两种证法，更清楚地反映了线线、线面、面面三者之间的互相转化关系，所以同学们要熟练掌握判定定理和性质定理的内容，在证题时，注意其内在联系。例3.异面直线上的线段BD和AC分别在平面内AB=CD=10，且AB和CD成60°角，求AC和BD所成角的度数.[分析]本题是求异面直线成角问题，利用两个平面平行性质作出异面直线的成角，是解决问题的关键。[解]过AC、CD作平面γ，，取DE=AC=6，连结AE，BE. ，∴∴四边形ACDE为平行四边形，∴AE//CD，且AE=CD则CD和AB、AC和BD所成的角，∴BE=10，DB=84∴∴即和成90。[解题后的点拨]此题通过作辅助平面得交线，运用面面平行的性质定理，得到线线平行,仍是把空间问题转化为平面问题来解.[巩固提高]一.选择题:1.命题（1）如果一个平面内有两条直线平行于...
