一花一叶1一叶一世界第四章不定积分一、基本要求1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3.了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容Ⅰ.原函数与不定积分概念1.原函数设在区间Ⅰ上)(xF可导，且)()('xfxF（或dxxfxdF)()(）就称)(xF为)(xf在Ⅰ的一个原函数。2.不定积分在区间Ⅰ上函数)(xf的所有原函数的集合，成为)(xf在区间Ⅰ上的不定积分，记作dxxf)(.其中)(xF为)(xf在Ⅰ上的一个原函数，C为任意常数.Ⅱ.不定积分的性质1.dxxfdxxfd)()((或)())(('xfdxxf)2.Cxfxdf)()((或Cxfdxxf)()(')3.dxxfkdxxkf)()(其中k为非零常数.4.dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.Ⅲ.基本积分公式1.Ckxkdx(k为常数)2.Cxudxxuu1113.Cxdxxln14.Cxxdxarctan125.Cxxdxarcsin126.Cxdxxsincos7.Cxxdxcossin不定积分概念不定积分性质基本积分法基本积分公式无理函数的积分可化为有理函数的积分原函数概念第二类换元法第一类换元法分部积分法一花一叶2一叶一世界8.Cxxdxtansec29.Cxxdxcotcsc210.Cxxdxxsectansec11.Cxxdxxcsccotcsc12.Cedxexx13.Caadxaxxln114.Cchxshxdx15.Cshxchxdx16.Cxxdxcoslntan17.Cxxdxsinlncot18.Cxxxdxtanseclnsec19.Cxxxdxcotcsclncsc20.Caxaxadxarctan12221.Caxaxaaxdxln212222.Caxxadxarcsin2223.2222ln()dxxxaCxa24.2222ln()dxxxaCxaⅣ.换元积分法1.第一类换元法.(凑微分法)dxxxf)()](['()()[()]fuduFuCFxC()(xu)(其中)(x可导，)(uF为)(xf的一个原函数).2.第二类换元法一花一叶3一叶一世界dxxf)('1[()]()()[()]fttdtFtCFxC()(tx)(其中)(tx单调可导，且0)(t，)(tF为)()](['ttf的一个原函数)Ⅴ.分部积分法(其中)(xu)(xv具有连续导数)Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.(1)dxax1(2)dxaxn)(1(3)dxqpxxcbx2(4)dxqpxxcbxn)(2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.三角函数有理式的积分，总可用万能代换2tanxu将原不定积分化为u为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.三、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分四、例题解析Ⅰ、选择题例1若)(xf的导数是xcos，则)(xf有一个原函数为()(A)xcos1(B)xcos1(C)xsin1(D)xsin1解应选(B).因为xxsin)cos1('，而xxcos)(sin'例2设)(xf有原函数xxln，则xdxxln（）(A))ln4121(2Cxx(B))ln2141(2Cxx(C))ln2141(2Cxx(D))ln4121(2Cxx解2)()(2xdxfdxxxfdxxfxxfx)(2)(2'22而1ln)ln()('xxxxf，xxf1)('，故所以应选(B).一花一叶4一叶一世界Ⅱ、填空题例3设)(xf为定义区间上单调连续可微函数，)(1xf为相应的反函数，若CxFdxxf)()(，则dxxf)(1为解)()()(111xxdfxfxdxxfⅢ、讨论题例4解下列各题，并比较其解法：(1)dxxx22(2)dxxx222(3)dxxx232(4)dxxx242解(1)Cxxdxdxxx)2ln(21)2(212122222.(2)dxxdxxxdxxx)221(22)2(222222Cxx2arctan2.(3)22222223)222(212212dxxxdxxxdxxx(4)dxxxdxxxdxxx)242(2442222424比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设CuFduuf)()()(1))()(1)(baxdbaxfadxbaxfduufa)(1(baxu)(2))()(1)(1baxdbaxfandxxbaxfnnnnduufan)(1(baxun)如求dxxx243)(cos一花一叶5一叶一世界解原式424)(cos141dxxCx)tan(414(3)xdxfdxxxfln)(ln1)(lnduuf)(CuF)(Cxf)(ln(xuln)如求dxxx3ln2解原式)...
