四点共圆问题大盘点1.四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。2.四点共圆常用的判定方法：判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。如果：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。如果：△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。如果：A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。如果：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A、B、C、D四点共圆。判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）例题（郑州模拟）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=31AC，AE=32AB，BD，CE相交于点F。（1）求证：A、E、F、D四点共圆；（2）若正△ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。解析：（1）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=180°，即可证得A，E，F，D四点共圆；（2）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=32，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为32。答案：（1）证明： AE=32AB，∴BE=31AB， 在正△ABC中，AD=31AC，∴AD=BE，又 AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=180°，所以A，E，F，D四点共圆。（2）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=12AE， AE=32AB，∴AG=GE=13AB=32， AD=13AC=32，∠DAE=60°，AB=AC∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=32，即GA=GE=GD=32，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为32，由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为32。点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题。【方法定位】将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。例题（河南模拟）如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H。（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）若GH=6，GE=4，求EF的长。解析：（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE·GF=GC·GD。由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC·GD，进而得到GH2=GE·GF。即可答案：证明：（1）连接DB， AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又 ∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。∴C，D，E，F四点共圆；（2） C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF=GC·GD。 GH是⊙O的切线，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。∴EF=GF－GE=9－4=5。点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。（答题时间：30分钟）一、选择题1.锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是（）A.4组B.5组C.6组D.7组2.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③3.如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为100°、40°，则∠P的度数为（）A.40°B.35°C.60°D.30°4...
