相似中的“射影定理”1.射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）2ADBDDC（2）2ABBDBC（3）2ACCDBC△ABC∽△ABD∽△DAC注意：（1）在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。2.定理推论在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足BADC，则有2ABBDBC。△ABD∽△CBA例题1已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA。解析：根据△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得2CDCECAg和2CDCFCB利用等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。答案：证明：在Rt△ADC中，由射影定律得，2CDCECA，在Rt△BCD中，2CDCFCB∴CECACFCB∴CECFCBCA ECFBCA∴△CEF∽△CBA点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。例题2已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D。若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE。求证：（1）2?AEADAB（2）ACFAED解析：（1）根据AE＝AC，可以把结论转化为证明2?ACADAB，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC即可。（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED＝∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。答案：（1）连接BC， AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90° CD⊥AB，∴△ACD∽△ABC，∴ACABADAC AC＝AE，∴2?AEADAB（2） 2?AEADAB，∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴∠AED＝∠B ∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠AED点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。【要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。例题如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞a），若13tanDCE，求ab的值。解析：在Rt△ABC中，利用射影定理得到2?BCBDBA，进而得到BD的表达式，由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系式DE＝BE﹣BD，再根据正切函数的定义，建立关于a、b的关系式。答案：在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，CD⊥AB∴2?BCBDBA，即：2222BCaBDBAab。由等面积法知：1122abABCD，∴22abCDab。又因为CE是中线，则222222222122abaDEBEBDababab。在Rt△CDE中，13tanDCE，222222123baababab得：223230aabb，解得1103ab，于是有1013ab或1013ab（舍负值）。点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。（答题时间：30分钟）一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD＝9：4，则AC：BC的值为（）A.9：4B.3：2C.4：9D.2：3*2.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若34ACAB，则BDCD＝（）A.43B.34C.169D.916*3.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，M为BC中点。下列关系式中正确的是（）A.222ACABDMBCB.222ACBCDMACC.222ACABDMACD.222BCABADAC**4.若正实数x，y，z满足①222xyz，②222zxrr。则下列关系式中正确的是（）A.xyzrB.xyzrC.xyzrD.无法确定二、填空题*5.如图，△ABC中ABAC，点D在BC上，以8BD为直径作⊙O，恰过A点，若AC与⊙O相切，则AB的长为。*6.如图，矩形ABCD中，56ABBC，点E在BC上，点F在CD上，且16ECBC，35FCCD，FG⊥AE于G，则AG：GE＝。*7.两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形。图中Rt△ABC的斜边AB的长等于（用a，b的代数式表示）。*8.Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则222,,ABACAD三者之间的等量关系式为。三、解答题*9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦CE...
