相似三角形的判定与性质一、选择题1.如图27-5-1,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为()图27-5-1A.15B.10C.D.5答案D∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积∶△ABC的面积=1∶4,∴S△ACD∶S△ABD=1∶3,∵S△ABD=15,∴S△ACD=5.故选D.2.如图27-5-2,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是()图27-5-2A.DE=BCB.=C.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC=1∶2答案D∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∴===,△ADE∽△ABC,∴S△ADE∶S△ABC==,∴A,B,C正确,D错误.故选D.3.如图27-5-3,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是()图27-5-3A.=B.=C.=D.=答案A∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==,故选项A正确,故选A.4.如图27-5-4,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是()图27-5-4A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶25答案B∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,∵S△DOE∶S△COA=1∶25,∴=,∵DE∥AC,∴==,∴=,∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4,故选B.5.如图27-5-5,正方形ABCD中,E为CD的中点,EF⊥AE,交BC于点F,则∠1与∠2的大小关系为()图27-5-5A.∠1>∠2B.∠1<∠2C.∠1=∠2D.无法确定答案C∵∠1+∠CEF=90°,∠DAE+∠1=90°,∴∠DAE=∠CEF,∵∠ADE=∠ECF=90°,∴△ADE∽△ECF,∵AD=2EC,∴AE=2EF,又∵AD=2DE,∠ADE=∠AEF,∴△ADE∽△AEF,∴∠1=∠2.故选C.6.如图27-5-6,☉O是△ABC的外接圆,已知AD平分∠BAC交☉O于点D,AD=5,BD=2,则DE的长为()图27-5-6A.B.C.D.答案D∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵∠DBC=∠DAC,∴∠DBC=∠BAD,∵∠D=∠D,∴△ABD∽△BED,∴=,∴DE==.故选D.7.将一张边长分别为a,b(a>b)的矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,则折痕的长为()A.B.C.D.答案A如图,设折痕EF与对角线AC的交点为G,则AC⊥EF,AG=GC,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∵AC⊥EF,∴∠AGE=90°,∴∠AGE=∠B.又∵∠GAE=∠BAC,∴△AGE∽△ABC,∴=,∴GE=,又∵AG=AC=,∴EF=2GE=.故选A.8.如图27-5-7,?ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD,交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论中:①∠ACD=30°;②S?ABCD=AC·BC;③OE∶AC=∶6;④S△OCF=2S△OEF,正确的有()图27-5-7A.1个B.2个C.3个D.4个答案D∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵CE平分∠BCD,交AB于点E,∴∠DCE=∠BCE=60°,∴△CBE是等边三角形,∴BE=BC=CE.∵AB=2BC,∴AE=BC=CE,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CAB=30°,故①正确;∵AC⊥BC,∴S?ABCD=AC·BC,故②正确;在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴AC=BC,∵AO=OC,AE=BE,∴OE=BC,∴OE∶AC=,∴OE∶AC=∶6,故③正确;∵AO=OC,AE=BE,∴OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,∴==2,∴S△OCF∶S△OEF==2,∴S△OCF=2S△OEF,故④正确,故选D.二、填空题9.如图27-5-8,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,则S△BCF=.图27-5-8答案4解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,∴=,=,∵E是边AD的中点,∴DE=AD=BC,∴==,∴S△DEF=S△DEC=1,=,∴S△BCF=4.10.如图27-5-9,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,P是BC边的中点,AP交BD于点Q.则的值为.图27-5-9答案解析连接OP,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,∵PC=PB,∴OP∥AB,OP=AB,∴==,∴=.11.如图27-5-10,△ABC≌△DEF,AB=AC=5,BC=6,△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=.图27-5-10答案1或解析∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,∴∠AME>∠AEF,∴AE≠AM.当AE=EM时,易知∠BAE=∠MEC,∵∠B=∠C,△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5,∴BE=BC-EC=6-5=1,当AM=EM时,∠MAE=∠MEA,∵∠MAE=∠MEC,∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA,又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴=,∴CE==,∴BE=6-=.∴BE=1或.12.如图27-5-11,斜边长12cm,∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A'B'C的位置,再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上,则三角尺向左平移的距离为cm.(结果保留根号)图27-5-11答案6-2解析如图,连接B'B″,∵在Rt△ABC中,AB=12,∠A=30°,∴BC=AB=6,AC=6,∴B'C=6,∴AB'=AC-B'C=6-6,∵B'C∥B″C″,B'C=B″C″,∴四边形B″C″CB'是平行四边形,∴B″B'∥BC,B″B'=C″C,∴△AB″B'∽△ABC,∴=,即=,解得:B″B'=6-2.∴C″C=B″B'=6-2.所以三角尺向左平移的距离为(6-2)cm.13.如图27-5-12,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F.若PE=4,EF=5,则线段PC的长为.图27-5-12答案6解析∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP,∵DP=DP,∴△APD≌△CPD,∴PA=PC,∠DAP=∠DCP,∵CD∥BF,∴∠DCP=∠F,∴∠DAP=∠F,又∵∠APE=∠FPA,∴△APE∽△FPA,∴=,∴PA2=PE·PF,∵PA=PC,∴PC2=PE·PF=4×9,∴PC=6.
