正交基与标准正交基VIP免费

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页7.2正交基与标准正交基授课题目正交基与标准正交基授课时数3学时教学目的掌握标准正交基的概念及求法，理解标准正交基的作用教学重点标准正交基的求法，标准正交基的作用教学难点施密特正交化方法的理论证明.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1．正交组的定义例1向量12110,1,0,,0,,22311,0,22构成3R一个标准正交组，因为1231,122331,,,0.一、正交组的定义、性质返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页函数组(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…]2,0[]2,0[C例2考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间上一切连续的一个正交组.构成]2,0[C返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页20,21dx20,,,,0sinsinnmnmnxdxmx若若,,0,,coscos20nmnmnxdxmx若若事实上，我们有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页222000cossincossin01,12,cos,cossin,sin,1,cos1,sin0,cos,cossin,sinmxnxdxnxdxnxdxnxnxnxnxnxnxmxnxmxnx所以,,0sin,cosnmnxmx若把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2π]的一个标准正交组,...sin1,cos1,...,sin1,cos1,21nxnxxx返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2．正交组的性质定理7.2.1设12{,,,}n一个正交组，那么12,,,n线性无关.是欧氏空间的11221211120,,,,,00,0,,,0,00,1,2,,,,,.nnnijnniijjjijiiijjiiiinkkkkkkRijkkkkin设当时有证故故线性无关返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1．标准正交基的定义设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n,,,21n个向量构成一个正交组，那么由定理7.2.1，这个n个向量构成V的一个基，叫做V的一个正交基。如果V的一个正交基还是一个标准正交基，那么就称这个基是一个标准正交基.二、标准正交基的定义、性质及存在性返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例3欧氏空间nR的基是),0,,0,1,0,,0()(iii=1,2,…,n,nR的一个标准正交基.如果},,,{21n正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可.2211nnxxx是是n维欧氏空间V的一个标准以唯一写成nxxx,,,21是ξ关于},,,{21n的坐标.由于},,,{21n是规范正交基，我们有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页（3）injijjixx1,,这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；nnyyy2211其次，令那么（4）nnyxyxyx2211,由此得（5）22221,||nxxx（6）2211)()(),(nnyxyx返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2、在标准正交基下，向量的坐标，内积，长度，距离的表达式.(1)12,,,,nVV为标准正交基11,,nniixxx则111,,nnnjjijxxx于是证由1,0,,,iiiiiiiijijjixx当当当时11,,nnjjijjijjxx而返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2)两个向量的内积等于它们关于标准正交基的对应坐标求积的和.1111111,,,,,,nniijjijnnnnniijjijijijijijiVxyxyxyxy设于是22212,nxxx2211,nndxyxy（3）（4）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3．标准正交基的性质设},{21是2V的一个基，但不一定是正交基},,{21问题就解决了,因为...