第9课时曲线与方程一、填空题1．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________．①y＝x与y＝②(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)·(y＋2)＝0③y＝与xy＝1④y＝lgx2与y＝2lgx答案：③2．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为________．解析：在对称曲线上任选一点(x，y)，关于x－y－3＝0的对称点为(y＋3，x－3)在f(x，y)＝0上．故f(y＋3，x－3)＝0.答案：f(y＋3，x－3)＝03．已知l1是过原点O且与向量a＝(2，－λ)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b＝平行的直线，则l1与l2交点P的轨迹方程是________，轨迹是________．解析：由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，又l1与l2垂直，由平面几何性质知，交点P的轨迹是以OA为直径的圆除去原点O的部分，故P点轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1(y≠0)．答案：x2＋(y－1)2＝1(y≠0)以(0,1)为圆心、1为半径的圆(不包括原点)4．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是____________．解析：P(2,3)在a1x＋b1y＋1＝0上，代入得2a1＋3b1＋1＝0.同理2a2＋3b2＋1＝0.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.答案：2x＋3y＋1＝05．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或其图形如图所示．它是边长为的正方形，其面积为2.答案：26.已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，则△ABC重心的轨迹方程为________________．解析：设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得∴ 顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.答案：y＝3(x－2)2＋17．设以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x2＋2y2＝1交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程是________________．解析：如图所示，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB中点M(x0，y0)，则x＋2y＝1，x＋2y＝1，两式作差得kAB＝＝－＝－. PM⊥AB，∴kPM·kAB＝－1，即·＝－1.∴所求轨迹方程是xy＋2x－4y＝0(椭圆内部分)．答案：xy＋2x－4y＝0(椭圆内部分)二、解答题8．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若求P点的轨迹方程．解： ∴P分有向线段所成的比为2.∴由P(x，y)可得B(0,3y)，A.∴＝. Q与P关于y轴对称．∴Q(－x，y)，且＝(－x，y)．∴由＝1得＋3y2＝1(x>0，y>0)为所求．9．(江苏姜堰、如皋、淮阴、前黄四校联考)已知动圆Q与x轴相切，且过点A(0,2)．(1)求动圆圆心Q的轨迹M方程；(2)设B、C为曲线M上两点，P(2,2)，PB⊥BC，求点C横坐标的取值范围．解：(1)设P(x，y)为轨迹上任一点，则|y|＝≠0，化简得y＝x2＋1，∴y＝x2＋1为所求方程．(2)设B，C， ＝0，∴x2＝－.∴x2≥10或x2≤－6为所求．10．(南京市调研)已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)．经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且(1)若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程；(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．解：(1)设A(x0，y0)，因为B(0,2)，M，故＝，＝.因为，所以＝－2，所以x0＝，y0＝－1，即A.因为A，B都在曲线E上，所以，解得a＝1，b＝.所以曲线E的方程为x2＋＝1.(2)解法一：当a＝b＝1时，曲线E的方程为圆：x2＋y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为所以＝－2，即.设线段AB的中点为T，则点T的坐标为，即.所以＝，＝(x2－x1，y2－y1)＝(－3x1，－3y1)．因为OT⊥AB，所以＝0，即3－41＋3x＋3y＝0.又因为x＋y＝1，所以x1＝，y1＝±.当点A的坐标为时，对应的点B的坐标为(0,1)，此时直线AB的斜率k＝－，所求直线AB的方程为y＝－x＋1；当点A的坐标为时，对应的点B的坐标为(0，－1)，此时直线AB的斜率k＝，所求直线AB的方程为y＝x－1.解法二：当a＝b＝1时，曲线E的方程为圆：x2＋y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为所以＝－2，即.因为点A，B在圆上，所以由①×4－②得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3.所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0.由x1＝，...
