第7课时二项式定理一、填空题1．(·安徽名校联考一)已知n的展开式中的第3项与第5项的系数之比为，则展开式中的常数项是________．解析：由题知第3项的系数为C(－1)2＝C，第5项的系数为C(－1)4＝C，则有＝，解得n＝10.Tr＋1＝Cx20－2r·x－(－1)r，∴当20－2r－＝0时为常数项，解得r＝8，故其常数项为C(－1)8＝C＝45.答案：452．(宁波十校联考)若n的展开式中含项的系数为－560，则n等于________．解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC2n－rx，令＝－1，则n＝3r－2，又(－1)rC2n－r＝－560，显然r必为奇数，n亦为奇数，经验证n＝7.答案：73．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为________．解析：根据二项式定理，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝3n，又令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a2n＝1，两式相加得2(a0＋a2＋…＋a2n)＝3n＋1，又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝.答案：4．在20的展开式中，x的幂指数是整数的项共有________项．解析：该二项式展开式的通项为Tr＋1＝2rCx，若x的幂指数为整数，则有r＝0,6,12,18共四个使x的幂指数是整数．答案：45．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2009x2009(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2009)＝________.解析：应用赋值法解题．∵(1－2x)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2009x2009(x∈R)，∴令x＝0得a0＝1，再令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a2009＝－1，∴a1＋a2＋…＋a2009＝－2，∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2009)＝2009a0＋a1＋a2＋…＋a2009＝2009－2＝2007.答案：20076．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.解析：由Tr＋1＝C(kx2)r＝krCx2r得x8的系数为k4C＝15k4，由15k4<120得k4<8，由于k为正整数，于是k＝1.答案：17.(·福州教学检查)二项式(2＋x)n的展开式中，前三项的系数依次为等差数列，则展开式的第8项的系数为________．(用数字表示)解析：二项式(2＋x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C2n－rxr，前三项的系数依次为等差数列，则有2C2n－1＝C2n＋C2n－2，两边同除以2n－2，化简得n2－9n＋8＝0，解之得n＝8，所以，展开式的第8项的系数为C28－7＝16.答案：16二、解答题8．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解：由二项式定理中的赋值法，令x＝0，则a0＝(－2)5＝－32，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝31.9．若n展开式的二项式系数之和为64，求展开式的常数项．解：∵2n＝64，∴n＝6，∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r.∴当r＝3时，T4为常数项，∴T4＝C＝20.10．若x＝5，问(1＋x)15的展开式中最大的项为第几项？并求出这一项的值．解：设Tr＋1为(1＋x)15的展开式中的最大项，则应有即化简得将x＝5代入，得≤r≤.∵r≥0且r∈Z，∴r＝13.即x＝5时，(1＋x)15的展开式中最大的项为T14＝C·x13＝C·x13＝21×514.1．如果n的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值．解：∵Tr＋1＝C(3x2)n－rr＝(－2)r3n－r·Cx2n－5r.当2n－5r＝0时，2n＝5r，又n∈N*，r∈N*，∴n是5的倍数，∴正整数n的最小值为5.2．设n展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．解：T7＝C·()n－6·6，Tn－7＋2＝Tn－5＝C·()6n－6.由＝，化简得，－4＝－1，∴n＝9.∴T7＝C·()9－6·6＝.
