2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程双基达标限时15分钟1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，则k＝______．解析由－＝1知－－＝9，故k＝－1.答案－12．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是____________．解析由a＋c＝9，c2＝a2＋b2＝a2＋9，解得a＝4，又焦点在y轴上，故双曲线的方程为－＝1.答案－＝13．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则MF2＋NF2－MN的值为______．解析MF2＋NF2－MN＝(MF2－MF1)＋(NF2－NF1)(根据双曲线的定义)＝2a＋2a＝4a＝4×2＝8.答案84．已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是____________．解析c＝13，a2＝25，∴b2＝144.答案－＝1或－＝15．双曲线两焦点坐标分别为F1(0，－5)、F2(0，5)，2a＝8，则双曲线的标准方程为__________．解析由题意知焦点在y轴上且a＝4，c＝5，则b2＝9.答案－＝16．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P，Q，且焦点在坐标轴上；(2)c＝，且过点(－5，2)，焦点在x轴上；(3)与双曲线－＝1有相同焦点，且经过点(3，2)．解(1)设双曲线方程为＋＝1(mn<0)，∵P、Q两点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为－＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为：－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.(3)设所求双曲线方程为：－＝1(其中－4<λ<16)．∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线方程为－＝1.综合提高限时30分钟7．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是____________．解析由k－3>0，9－k<0得k>9.答案k>98．方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．解析由题意得(1＋k)(1－k)<0即(k＋1)(k－1)>0，∴k>1或k<－1.答案k>1或k<－19．双曲线＋＝1的焦距为__________．解析∵25－k>9－k，则25－k>0，9－k<0，即a2＝25－k，b2＝k－9，∴c2＝16，c＝4，焦距为2c＝8.答案810．已知双曲线的方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为________．解析由AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a故AF1＋BF1＝4a＋AB而AF1＋BF1＋AB＝4a＋2AB＝4a＋2m.答案4a＋2m11．已知F1、F2是双曲线－＝1的左、右焦点，P在双曲线右支上，且PF1·PF2＝32，求∠F1PF2的大小．解由双曲线定义和条件，得所以62＝(PF1－PF2)2＝PF12＋PF22－2PF1·PF2所以PF12＋PF22＝100.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝0，所以∠F1PF2＝90°.12．如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A、B、C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线．解如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝，2sin∵A＋sinC＝2sinB，2∴a＋c＝2b，即b－a＝，从而有CA－CB＝AB＝2
)．故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)．13．(创新拓展)以原点为圆心，以双曲线－＝1的半焦距为半径作圆与双曲线相交，求其中一个交点到两个焦点的距离之和．解∵a＝3，b＝，∴c＝2，2a＝6，2c＝F1F2＝4，设其中一个交点为M，MF1＝d1，MF2＝d2，其中F1、F2为双曲线的两个焦点，则∠F1MF2＝90°，d12＋d22＝F1F22＝(2c)2＝48，|d1－d2|＝|MF1－MF2|＝2a＝6，由①－②2得2d1d2＝12③①＋③得(d1＋d2)2＝60，d1＋d2＝2，∴其中一个交点到两个焦点的距离之和为2.
