2.4函数与方程2.4.1方程的根与函数的零点双基达标（限时20分钟）1．函数f(x)＝－x＋5的零点个数为()．A．1B．2C．3D．4解析法一令f(x)＝0得，＝x－5，∵函数y＝与y＝x－5的图象有2个交点，∴函数f(x)＝－x＋5有两个零点，从而选B.法二∵f(x)＝，令f(x)＝0，得x2－5x－1＝0，此方程有两个不相等的实数根，∴函数f(x)＝－x＋5有两个零点，从而选B.答案B2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()．A．2B．－2C．±2D．不存在解析函数有一个零点，即方程x2－bx＋1＝0有两个相等实根，∴Δ＝0，即Δ＝b2－4＝0，∴b2＝4，b＝±2.答案C3．已知－3，0，2都是函数f(x)的零点，则f(x)>0时自变量x的取值范围不可能是()．A．(－3，0)B．(0，2)C．(－3，2)D．(2，5)解析∵0∈(－3，2)且f(0)＝0，∴f(x)>0时自变量x的取值范围不可能是(－3，2)，∴选C.答案C4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123f(x)136.13615.552－3.92x456f(x)10.88－52.488－232.064函数f(x)含有零点的区间是________．解析由表格知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，∴零点分布的区间应是(2，3)，(3，4)，(4，5)．答案(2，3)，(3，4)，(4，5)5．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由2a＋b＝0，得b＝－2a，g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－，∴g(x)＝bx2－ax的零点为0，－.答案0，－6．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x3＋1；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝3x＋1－7；(6)f(x)＝log5(2x－3)．解(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，可解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)令x3＋1＝0，解得x＝－1，所以函数的零点为－1.(4)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.(5)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点是log3.(6)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点是2.综合提高限时25分钟7．若函数y＝f(x)在区间[0，4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0，4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()．A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断解析考查下列各种图象上面各种函数y＝f(x)在(0，4)内仅一个零点，但是(1)中，f(0)·f(4)>0，(2)中f(0)·f(4)<0，(3)中f(0)·f(4)＝0.答案D8．若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．[0，1)解析a＝0时不符合题意；a≠0且Δ＝0时，解得a＝－，此时方程为－x2－x－1＝0，也不合题意；只能f(0)·f(1)<0，解得a>1.答案B9．已知二次函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且函数图象截x轴所得的线段长为8，则函数y＝f(x)的零点为________．解析由于函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，即x＝2为二次函数y＝f(x)图象的对称轴，根据二次函数的图象的性质，图象与x轴的交点必关于x＝2对称，而两交点的距离为8，则必有x1＝2＋4＝6，x2＝2－4＝－2，因此函数的零点为－2或6.答案－2或610．函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为________．解析由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.答案1或1011．已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．解(1)当m＝0时，f(0)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0，1)．若m<0，f(x)的开口向下，如图(1)所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m>0，f(x)的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m≥0即可，解得0
