2.4.2计算函数零点的二分法双基达标（限时20分钟）1．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是()．①f(x)在[a，b]上连续不断②f(a)·f(b)<0③f(a)·f(b)>0④f(a)·f(b)≥0A．①②B．①③C．①④D．①②③答案A2．下列函数中不能用二分法求零点的是()．A．f(x)＝2x＋3B．f(x)＝lnx＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1D．f(x)＝2x－1解析在C中因为含零点x＝1的区间[a，b]，不满足f(a)·f(b)<0.答案C3．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为()．A．1B．2C．3D．4解析因为＝0.1，所以应将区间(a，b)等分的次数至少为1次．答案A4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．解析∵|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，∴0.75和0.6875就可作为方程的近似解．答案0.75或0.68755．函数y＝x4－4x－2在区间[－1，2]上至少有______个零点．解析∵f(－1)>0，f(0)<0，f(2)>0，∴方程在(－1，0)内，(0，2)内各自至少有一根．答案26．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有惟一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是增函数，所以函数在区间[1，2]内有惟一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解.(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(1，2)1.5f(1)<0f(2)>0f(1.5)>0(1，1.5)1.25f(1)<0f(1.5)>0f(1.25)>0(1，1.25)1.125f(1)<0f(1.25)>0f(1.125)<0(1.125，1.25)1.1875f(1.125)<0f(1.25)>0f(1.1875)<0因为|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.25.综合提高限时25分钟7．已知函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a0.函数f(x)的对称轴为x＝－－1≤－1，故函数f(x)在(－1，1)上为增函数，∴函数f(x)在(－1，1)上有且仅有一个零点．答案A9．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0，1)内有零点②函数f(x)在区间(1，2)内有零点③函数f(x)在区间(0，2)内有零点④函数f(x)在区间(0，4)内有零点解析∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴(0，4)上有零点．答案④10．设函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－的零点为____________．解析求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根．当x≥1时，由2x－2－＝0，得x＝；当x<1时，由x2－2x－＝0，得x＝或x＝.∵x<1，∴x＝舍去．∴x＝.∴函数g(x)＝f(x)－的零点是或.答案或11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，而且它的零点个数是有限多个．求证：f(x)的零点个数一定是奇数个．证明由f(x)是奇函数可知f(x)＝－f(x)对所有x都成立，因此当正数a是f(x)的零点时，负数－a也必定是f(x)的零点；反之，当负数b是f(x)的零点时，正数－b也必定是f(x)的零点，即f(x)的正零点的个数与负零点的个数一样多．由此可知f(x)的非零的零点个数为偶数个．又因为f(0)＝－f(0)，所以0也是f(x)的零点，所以f(x)的零点个数一定是奇数个．12．(创新拓展)关于x的方程x2＋(m＋2)x＋m＝0.(1)有一个正根和一个负根，并且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围；(2)是否存在实数m，使方程的一个根在(0，1)内，另一个在(3，4)内，如存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．解令f(x)＝x2＋(m＋2)x＋m，其图象的对称轴为x＝－.(1)因为方程x2＋(m＋2)x＋m＝0有一个正根和一个负根，则函数f(x)＝x2＋(m＋2)x＋m有两个零点x1，x2，由题意不妨设x1>0，x2<0，且|x1|<|x2|，函数f(x)的图象如图(1)所示：满足题设的条件为⇔－2
