人教A版2019年高中数学选修2学案：12变化率问题导数的概念_含解析VIP免费

1．1.1&1.1.2变化率问题导数的概念(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．[点睛]Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢[点睛]“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.3．导数的概念定义式limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx记法f′(x0)或y′|x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率[小试身手]预习课本P2～6，思考并完成下列问题1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()答案：(1)√(2)×(3)×2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为()A．6＋ΔtB．6＋Δt＋9ΔtC．3＋ΔtD．9＋Δt答案：A3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A．4B．4xC．4.2D．4.02答案：C4．在f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx不可能为()A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于0答案：C求函数的平均变化率[典例]求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解]在x＝1附近的平均变化率为k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx；若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193，由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0.[活学活用]求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx3－x30Δx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋122＝194.求瞬时速度[典例]一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0...