旋转体体积的计算方法VIP专享VIP免费

362西安理工大学学报JournalofXi’肋UniversityofTechnology(2008)V01．24No．3文章编号：1006-4710(2008)03-0262-04旋转体体积的计算方法李艳丽，王逸迅(西安理工大学理学院，陕西西安710054)摘要：为解决计算旋转体体积尚无具有普遍适用性的统一公式的问题，依据古鲁金第二定理推证得到：利用曲面积分计算空间某一平面图形三绕直线(轴)L旋转而成的旋转体体积的通用公式；利用二重积分计算xoy面上的平面图形D绕直线(轴)￡旋转而成的旋转体体积的通用公式。依据本文所证得的通用计算公式推证得到：在某些特定情形下利用定积分计算旋转体体积的具有针对性的公式。关键词：直线；平面图形；旋转体；旋转体体积中图分类号：0172．2文献标识码：AAMethodforCalculatingRotatingBodyVolumeLIYan—li．WANGYi—xun(FacultyofSciences，Xi’anUniversityofTechnology，Xi’all710054，China)Abstract：Inordertosolvetheproblemofcalculatingrotatingbodyvolumewithoutthegeneralunifiedformula。basedonGuldin’ssecondtheorem，thegeneralformulasarededucedoncalculatingthevolumeoftherotatingbodyshapedbyrotatingtheplanefigure三aroundtheL—axisinthespacebyusingsurfaceintegralandcalculatingthevolumeoftherotatingbodyshapedbyrotatingtheplanefigureDinxoyplanearoundtheL—axisbyusingdoubleintegral．Accordingtothesegeneralformulas，thetargetedformulatocalculatetherotatingbodyvolumebyusingdefiniteintegralinsomespecificcasesisderivedinthispa—per·Keywords：straightline；planefigure；rotatingbody；rotatingbodyvolume古鲁金第二定理给出了一个平面图形绕其所在平面内与其不相交的轴(可以是它的边界)旋转一周而成的旋转体体积的求法。对于某些简单特殊的情形，当平面图形形心到轴的距离以及平面图形的面积易求得时，利用古鲁金第二定理可以很方便地求得旋转体的体积。一般情形下，情况并非如此。如：问题1⋯求曲线Y=4x—X2与直线Y=名所围成的平面图形D绕直线L：Y=戈旋转一周而成的旋转体的体积。问题2E23求厂：詈=善=z(1≤z≤3)绕z轴旋二J转一周而成的旋转曲面与平面z=l，：=3所围立体的体积。利用古鲁金第二定理求解以上两个问题均不方便。平面图形绕旋转轴旋转而成的旋转体由该平面图形以及旋转轴所确定。无论在空间还是在平面上，由于旋转轴所处的位置、平面图形以及平面图形与旋转轴的相对位置的多样性，使得旋转体体积的求解问题相当繁杂。迄今为止，绝大部分高等数学以及数学分析教科书、教学辅导书均仅给出在xoy面上平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体体积的计算公式p'4J，各类相关文章中所介绍的求旋转体体积的公式也均为某种特定情形下求解此类问题的公式∞]，都具有较强的针对性。笔者还未曾见到求解此类问题的具有普遍适用性的统一公式。本文将对此类问题加以研究，力求找到具有普遍适用性的统一公式。1旋转体体积的计算依据古鲁金第二定理，若空间某一平面图形三的形心为M(x，多，三)，面积为A，则三绕其所在平面收稿日期：2008-05-22作者简介：李艳丽(1959-)，女，陕西渭南人，讲师，研究方向为基础数学。E．mail：liyanli@xaut．edu．ca。万方数据李艳丽等：旋转体体积的计算方法363内与其不相交的直线￡：X—--—X0：Y—-—Yo：三二鱼旋转一mnp周而成的旋转体的体积为：S=2仃·d·A其中d为形心膨到直线￡的距离。因为￡的方向向量为s={m，n，P}，眠(x。，yo，％)在￡上，所以儿面等亏27r一●__-。_________。_‘_-_-●-●_____。，●一‘|丽2仃-¨厶r矗‘7孙、丽l互二i‰歹三％≥三钿lm以一菇oAl，毫弘一％AA七p勰一％A＼＼t签一to＼＼aS＼＼，as一，o＼＼as＼＼a强一b＼＼asz王zzzz一堑、丽ijkmnp*Zo)dS＼f(y-yo)dS＼z-zo)ds==：由以上推导可得下述定理：定理空间有界平面图形三绕其所在平面内与其不相交的直线￡：X—--—X0：Y—-—Yo：苎二鱼旋转一周而成的旋转体的体m，lP积为y：纽、愿磊耳iJ丘InnP＼＼b—xoaS＼＼h一，o器＼＼ll—z小器：互：均成立，再视具体情况具体分析，依据旋转的实际效果以及体积的可加性，问题即可得到解决。至...