3.1.5空间向量的数量积双基达标限时20分钟1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的________条件．解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．答案充分不必要2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.解析|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.答案3．如果a是一个非零向量，则a·[b(c·a)－c(a·b)]＝________.解析原式＝(a·b)(c·a)－(a·c)(a·b)＝0.答案04．已知向量a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－3c)·(3a＋b＋c)＝________.解析因为向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝a·c＝c·b＝0，所以(a＋2b－3c)·(3a＋b＋c)＝3a2＋2b2－3c2＋7a·b－8a·c－b·c＝－16.答案－165．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则GE·GF＝________.解析由题意可知EF⊥FG，EF＝FG＝，所以GE·GF＝|GE||GF|cos＝××＝.答案6.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，直线EF和BC1所成的角大小．解设AB＝BC＝AA1＝1，则AB1＝，BC1＝，AB1＝AB＋BB1，BC1＝BC＋BB1，由题意，AB1∥EF，所以cos〈EF，BC1〉＝cos〈AB1，BC1〉＝＝＝＝＝，所以〈EF，BC1〉＝60°.∴直线EF与BC1所成的角为60°.综合提高（限时25分钟）7．向量a与c不平行，b与c不平行，(a·b)a＝(b·c)c，d＝a＋c，则b，d的夹角为________．解析由题意可得a·b＝b·c＝0，从而b·d＝b·(a＋c)＝0，所以b，d的夹角为.答案8．若向量a，b，满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.解析因为|a＋b|＝1，所以|a＋b|2＝1，即2a·b＝－1，所以|a－b|2＝2－2a·b＝3，所以|a－b|＝.答案9．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，则〈a，b〉＝________.解析a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e12－2e22－e1·e2＝1－2－＝－，|a|＝＝，|b|2＝＝，所以cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案10．已知向量a，b，c满足|a＋b＋c|＝，|a|＝3，|b|＝，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析|a＋b＋c|＝两边平方即得：|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝|a＋b＋c|2，即a·b＋b·c＋c·a＝－.答案－11．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝2，设G是△ABC的重心，E是SD上的一点，且SE＝3ED.(1)试用基底{AB，AD，AS}表示向量GE；(2)求线段GE的长．解(1)延长AG交BC于F，则F是BC的中点，又GE＝AE－AG＝(AS＋SE)－AF＝AS＋SD－(AB＋AC)＝AS＋(AD－AS)－(AB＋AB＋AD)＝－AB＋AD＋AS.(2)因为|GE|2＝GE·GE＝(－AB＋AD＋AS)·(－AB＋AD＋AS)＝AB·AB＋AD·AD＋AS·AS＝＋＋＝，所以|CE|＝.12．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．解如图，因为∠ACD＝90°，所以AC·CD＝0，同理，BA·AC＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈BA，CD〉为60°或120°因为BD＝BA＋AC＋CD，所以BD2＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＝3＋2cos〈BA，CD〉，所以BD2＝4或BD2＝2，所以|BD|＝2或，即B、D间的距离为2或.13．(创新拓展)A，B，C是空间任意三个不同的点，它们关于某一点O，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，求证：A，B，C三点在同一条直线上的充要条件是存在三个不为零的实数α，β，γ，使得αa＋βb＋γc＝0，且α＋β＋γ＝0.证明必要性：假设A，B，C三个不同的点在同一条直线上，则AB，AC是共线向量，而且它们都不是零向量，于是存在实数λ，使AC＝λAB，这里，λ≠0且λ≠1(因为λ＝0时，AC为零向量；λ＝1时，C点与B点重合，这两种情况都不可能)．由AC＝λAB得：OC－OA＝λ(OB－OA)，所以c－a＝λ(b－a)，所以(1－λ)a＋λb－c＝0，令1－λ＝α，λ＝β，－1＝γ，则αa＋βb＋γc＝0，α，β，γ均不为零，且α＋β＋γ＝0.充分性：如果条件成立，即有不等于零的数α，β，γ，使αa＋βb＋γc＝0，且α＋β＋γ＝0，则γ＝－(α＋β)，故αa＋βb－(α＋β)c＝0，即α(c－a)＝β(b－c)，两端各加β(c－a)，有(α＋β)(c－a)＝β(b－a)，所以c－a＝(b－a)，即AC＝AB.所以AC与AB共线，又它们有同一始点A，所以AC与AB是同一直线上的两个向量，而且由于不等于零且不等于1，故A，B，C是三个不同的点．综上，A，B，C三点共线．
