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高中数学 3-1-5空间向量的数量积规范训练 苏教版选修2-1VIP免费

高中数学 3-1-5空间向量的数量积规范训练 苏教版选修2-1_第1页
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3.1.5空间向量的数量积双基达标限时20分钟1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的________条件.解析a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|⇔cos〈a,b〉=1⇔〈a,b〉=0,当a与b反向时,不能成立.答案充分不必要2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=________.解析|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=13.∴|a+3b|=.答案3.如果a是一个非零向量,则a·[b(c·a)-c(a·b)]=________.解析原式=(a·b)(c·a)-(a·c)(a·b)=0.答案04.已知向量a,b,c两两垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-3c)·(3a+b+c)=________.解析因为向量a,b,c两两垂直,所以a·b=a·c=c·b=0,所以(a+2b-3c)·(3a+b+c)=3a2+2b2-3c2+7a·b-8a·c-b·c=-16.答案-165.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则GE·GF=________.解析由题意可知EF⊥FG,EF=FG=,所以GE·GF=|GE||GF|cos=××=.答案6.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,直线EF和BC1所成的角大小.解设AB=BC=AA1=1,则AB1=,BC1=,AB1=AB+BB1,BC1=BC+BB1,由题意,AB1∥EF,所以cos〈EF,BC1〉=cos〈AB1,BC1〉=====,所以〈EF,BC1〉=60°.∴直线EF与BC1所成的角为60°.综合提高(限时25分钟)7.向量a与c不平行,b与c不平行,(a·b)a=(b·c)c,d=a+c,则b,d的夹角为________.解析由题意可得a·b=b·c=0,从而b·d=b·(a+c)=0,所以b,d的夹角为.答案8.若向量a,b,满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-b|=________.解析因为|a+b|=1,所以|a+b|2=1,即2a·b=-1,所以|a-b|2=2-2a·b=3,所以|a-b|=.答案9.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,向量a=e1+e2,b=e1-2e2,则〈a,b〉=________.解析a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=e12-2e22-e1·e2=1-2-=-,|a|==,|b|2==,所以cos〈a,b〉==-,又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=.答案10.已知向量a,b,c满足|a+b+c|=,|a|=3,|b|=,|c|=,则a·b+b·c+c·a=________.解析|a+b+c|=两边平方即得:|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=|a+b+c|2,即a·b+b·c+c·a=-.答案-11.已知四边形ABCD是边长为1的正方形,SA⊥底面ABCD,SA=2,设G是△ABC的重心,E是SD上的一点,且SE=3ED.(1)试用基底{AB,AD,AS}表示向量GE;(2)求线段GE的长.解(1)延长AG交BC于F,则F是BC的中点,又GE=AE-AG=(AS+SE)-AF=AS+SD-(AB+AC)=AS+(AD-AS)-(AB+AB+AD)=-AB+AD+AS.(2)因为|GE|2=GE·GE=(-AB+AD+AS)·(-AB+AD+AS)=AB·AB+AD·AD+AS·AS=++=,所以|CE|=.12.在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.解如图,因为∠ACD=90°,所以AC·CD=0,同理,BA·AC=0.因为AB与CD成60°角,所以〈BA,CD〉为60°或120°因为BD=BA+AC+CD,所以BD2=BA2+AC2+CD2+2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD=BA2+AC2+CD2+2BA·CD=3+2cos〈BA,CD〉,所以BD2=4或BD2=2,所以|BD|=2或,即B、D间的距离为2或.13.(创新拓展)A,B,C是空间任意三个不同的点,它们关于某一点O,设OA=a,OB=b,OC=c,求证:A,B,C三点在同一条直线上的充要条件是存在三个不为零的实数α,β,γ,使得αa+βb+γc=0,且α+β+γ=0.证明必要性:假设A,B,C三个不同的点在同一条直线上,则AB,AC是共线向量,而且它们都不是零向量,于是存在实数λ,使AC=λAB,这里,λ≠0且λ≠1(因为λ=0时,AC为零向量;λ=1时,C点与B点重合,这两种情况都不可能).由AC=λAB得:OC-OA=λ(OB-OA),所以c-a=λ(b-a),所以(1-λ)a+λb-c=0,令1-λ=α,λ=β,-1=γ,则αa+βb+γc=0,α,β,γ均不为零,且α+β+γ=0.充分性:如果条件成立,即有不等于零的数α,β,γ,使αa+βb+γc=0,且α+β+γ=0,则γ=-(α+β),故αa+βb-(α+β)c=0,即α(c-a)=β(b-c),两端各加β(c-a),有(α+β)(c-a)=β(b-a),所以c-a=(b-a),即AC=AB.所以AC与AB共线,又它们有同一始点A,所以AC与AB是同一直线上的两个向量,而且由于不等于零且不等于1,故A,B,C是三个不同的点.综上,A,B,C三点共线.

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