3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量双基达标限时20分钟1．在空间直角坐标系O－xyz中，下列向量中不是y轴方向向量的序号是________．①(0，1，0)；②(0，－1，0)；③(0，2，0)；④(0，1，1)．解析y轴方向向量可以表示为(0，k，0)(k≠0)，所以只有④(0，1，1)不是y轴方向向量．答案④2．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.解析α∥β⇒(－2，－4，k)＝λ(1，2，－2)，∴λ＝－2，k＝4.答案43．在空间直角坐标系O－xyz中，平面xOy的一个法向量是________．解析答案不唯一，只要与向量(0，0，1)平行的非零向量都可以．答案(0，0，1)4．在空间直角坐标系O－xyz中，法向量(1，0，0)对应的坐标平面是________．解析因为向量(1，0，0)平行于x轴，所以对应的坐标平面是垂直于x轴的平面．答案yOz平面5．在空间直角坐标系O－xyz中，设平面α经过点P(1，0，0)，平面α的法向量为e＝(1，0，0)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系是________．解析由题意可知e·PM＝0，代入坐标计算即可得x＝1.答案x＝16．已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解∵A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·AB＝0，n·AC＝0.即，解得.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2，1，0)．综合提高（限时25分钟）7．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________．解析设单位法向量n0＝(x，y，z)，AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)．由n0·AB＝0，且n0·AC＝0得解得或答案(，，)或(－，－，－)8．已知点A、B、C的坐标分别是(0，1，0)、(－1，0，1)、(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为________．解析∵A(0，1，0)，B(－1，0，1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，∴AB＝(－1，－1，1)，AC＝(2，0，1)，PA＝(－x，1，－z)．∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA·AB＝(－x，1，－z)·(－1，－1，1)＝0，PA·AC＝(－x，1，－z)·(2，0，1)＝0，∴∴∴点P的坐标为(，0，－)．答案(，0，－)9．若不重合的两个平面的法向量分别是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1，1，1)，则这两个平面的位置关系是________．解析因为a＝－3b，所以a∥b，所以这两个平面平行．答案平行10．不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，则l1，l2的位置关系是________．解析因为a＝－3b，所以a∥b，所以l1∥l2.答案平行11．△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC上任一点．(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求x，y，z满足的关系式．解(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，∵AB＝(2，4，－1)，AC＝(2，2，1)，∴，∴.故可取n＝(－3，2，2)．∴平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)．(2)∵点M(x，y，z)是平面ABC上任一点，∴－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0.3∴x－2y－2z－1＝0.这就是所求的x、y、z满足的关系式．12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC1是平面B1D1C的法向量．证明如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)．所以AC1＝(－1，1，1)，D1B1＝(1，1，0)，CB1＝(1，0，1)，所以AC1·D1B1＝(－1，1，1)·(1，1，0)＝0，AC1·CB1＝(－1，1，1)·(1，0，1)＝0，所以AC1⊥D1B1，AC1⊥CB1，又B1D1∩CB1＝B1，所以AC1是平面B1D1C的法向量．13．(创新拓展)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，求证：OA1⊥AM.证明如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，M(0，0，)，O(，，0)．所以OA1＝(，－，1)，AM＝(－1，0，)，因为OA1·AM＝×(－1)＋(－)×0＋1×＝0，所以OA1⊥AM，所以OA1⊥AM.
