3.2.3空间角的计算双基达标限时20分钟1．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于______．解析由cos〈a，b〉＝＝＝，化简得55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或.答案－2或2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为________．解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)．∴AM＝(0，，1)，CN＝(1，0，)．∴AM·CN＝，|AM|＝＝|CN|.∴cos〈AM，CN〉＝＝.答案3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AD的中点，则二面角A1－BD1－P的正弦值为______．解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.容易求得平面A1B1D的一个法向量为n1＝(－1，0，1)，平面PB1D的一个法向量为n2＝(0，－1，1)所以cos〈n1，n2〉＝＝，且二面角A1－BD1－P是锐二面角，所以其正弦值为.答案4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AC－D的正切值为______．解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.容易求得平面ACD1的一个法向量为n1＝(1，－1，1)，平面ACD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，且二面角D1－AC－D是锐二面角，所以其正弦值为，余弦值为，正切值为.答案5.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．解析建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B(，－，0)，M(，，)，B1(，－，1)，因此AB1＝(，－，1)，BM＝(0，1，)，设异面直线AB1与BM所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AB1，BM〉|＝＝0，∴θ＝90°.答案90°6．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC与PB所成的角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．解因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，故以A为坐标原点AD长为单位长度，建立如图空间直角坐标系，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，)．(1)证明：因为AP＝(0，0，1)，DC＝(0，1，0)，故AP·DC＝0，所以AP⊥DC.又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，故由此得DC⊥平面PAD.又DC⊂平面PCD，故平面PAD⊥平面PCD.(2)因AC＝(1，1，0)，PB＝(0，2，－1)，故|AC|＝，|PB|＝，AC·PB＝2，所以cos〈AC，PB〉＝＝.由此得AC与PB所成的角的余弦值为.(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ，使NC＝λMC.因为NC＝(1－x，1－y，1－z)，MC＝(1，0，－)，所以x＝1－λ，y＝1，z＝λ.要使AN⊥MC，只需AN·MC＝0即x－z＝0，解得λ＝.可知，当λ＝时，N点的坐标为(，1，)，能使AN·MC＝0.此时，AN＝(，1，)，BN＝(，－1，)，有BN·MC＝0.由AN·MC＝0，BN·MC＝0，得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANB为所求二面角的平面角．因为|AN|＝，|BN|＝，AN·BN＝－，所以cos〈AN，BN〉＝＝－.又平面AMC与平面BMC所成的二面角是钝二面角，所以平面AMC与平面BMC所成的二面角的余弦值为－.综合提高（限时25分钟）7．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，则直线D1E与平面BC1D所成角的余弦值为______．解析建立空间直角坐标系，如图，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(2，1，0)，所以A1C＝(－2，2，－2)，D1E＝(2，1，－2)，AB＝(0，2，0)，BB1＝(0，0，2)．不难证明A1C为平面BC1D的法向量．因为cos〈A1C，D1E〉＝＝，所以D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为.答案8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线的交点为D，则平面B1BD与平面CBD所成二面角的余弦值等于______．解析建立如图所示的空间直角坐标系，则B(，0，0)，A(0，1，0)，B1(，0，1)，D(，，)，所以CD＝(，，)，CB＝(，0，0)，BA＝(－，1，0)，BB1＝(0，0，1)．设平面CBD和平面B1BD的一个法向量分别为n1，n2，易求得n1＝(0，1，－1)，n2＝(1，，0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，且n1，n2“方向相同”，所以平...
