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高中数学 3-2一般形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5VIP免费

高中数学 3-2一般形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5_第1页
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高中数学 3-2一般形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5_第2页
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第二节一般形式的柯西不等式一、选择题1.设a,b,c∈R+,且a+b+c=3,则++的最小值为().A.9B.3C.D.1解析[()2+()2+()2]·≥2即(a+b+c)≥32.又∵a+b+c=3,∴≥++3,最小值为3.答案B2.已知a+a…++a=1,x+x…++x=1,则a1x1+a2x2…++anxn的最大值为().A.1B.nC.D.2解析由柯西不等式(a+a…++a)(x+x…++x)≥(a1x1+a2x2…++anxn)2得1·1≥(a1x1+a2x2…++anxn)2,∴a1x1+a2x2…++anxn≤1.所求的最大值为1.答案A3.已知a,b,c为正数,则有().A.最大值9B.最小值9C.最大值3D.最小值3解析=·≥2=9.答案B二、填空题4.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,则e的取值范围为________.解析4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,即4(16-e2)≥(8-e)2,即64-4e2≥64-16e+e2.∴5e2-16e≥0,故0≤e≤.答案5.设a,b∈R+,则与的大小关系是________.解析∵=··≥(·1+·1)=.∴≥.≥答案三、解答题6.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的最值.解由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件可得,5-a2≥(3-a)2,解得,1≤a≤2当且仅当==时等号成立,代入b=,c=,d=时,amax=2.b=1,c=,d=时,amin=1.7.设a1>a2>…>an>an+1,求证:…++++>0.证明∵a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)…++(an-an+1),∴[(a1-a2)+(a2-a3)…++(an-an+1)]·≥(·+·…++·)2=n2>1.∴(a1-an+1)>1.…即+++>,…故++++>0.8.设x+y+z=1,求函数u=2x2+3y2+z2的最小值.解根据已知条件和柯西不等式,我们有1=x+y+z=·x+·y+1·z≤(2x2+3y2+z2)=·,故u≥.而等号成立的条件是:x=,y=,z=λ,即x=,y=,z=λ,代入条件x+y+z=1得λ=,此时,x=,y=,z=,故当x=,y=,z=时,函数u=2x2+3y2+z2的最小值是.

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