第二节一般形式的柯西不等式一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为()．A．9B．3C.D．1解析[()2＋()2＋()2]·≥2即(a＋b＋c)≥32.又∵a＋b＋c＝3，∴≥＋＋3，最小值为3.答案B2．已知a＋a…＋＋a＝1，x＋x…＋＋x＝1，则a1x1＋a2x2…＋＋anxn的最大值为()．A．1B．nC.D．2解析由柯西不等式(a＋a…＋＋a)(x＋x…＋＋x)≥(a1x1＋a2x2…＋＋anxn)2得1·1≥(a1x1＋a2x2…＋＋anxn)2，∴a1x1＋a2x2…＋＋anxn≤1.所求的最大值为1.答案A3．已知a，b，c为正数，则有()．A．最大值9B．最小值9C．最大值3D．最小值3解析＝·≥2＝9.答案B二、填空题4．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．解析4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2.∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.答案5．设a，b∈R＋，则与的大小关系是________．解析∵＝··≥(·1＋·1)＝.∴≥.≥答案三、解答题6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．解由柯西不等式得，有(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得，1≤a≤2当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2.b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.7．设a1>a2>…>an>an＋1，求证：…＋＋＋＋>0.证明∵a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)…＋＋(an－an＋1)，∴[(a1－a2)＋(a2－a3)…＋＋(an－an＋1)]·≥(·＋·…＋＋·)2＝n2>1.∴(a1－an＋1)>1.…即＋＋＋>，…故＋＋＋＋>0.8．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．解根据已知条件和柯西不等式，我们有1＝x＋y＋z＝·x＋·y＋1·z≤(2x2＋3y2＋z2)＝·，故u≥.而等号成立的条件是：x＝，y＝，z＝λ，即x＝，y＝，z＝λ，代入条件x＋y＋z＝1得λ＝，此时，x＝，y＝，z＝，故当x＝，y＝，z＝时，函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是.
