第一节数学归纳法第1课时数学归纳法原理一、选择题1．用数学归纳法证明：1…＋＋＋＋＜n(n＞1)．在验证n＝2时成立，左式是()．A．1B．1＋C．1＋＋D．1＋＋＋答案C2．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3…＋＋n2＝(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的项为()．A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)…＋＋(k＋1)2答案D3．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*且k≥1)时该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时该命题不成立，那么应有()．A．当n＝4时该命题成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝6时该命题不成立答案C4．已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是()．A．若f(3)≥9成立，则对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)…时命题成立，即＋＋＋>，则当n＝k＋1…时，＋＋＋＋＋＋…＝＋＋＋＋>＋>＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．9……．求证：＋＋＋＝＋＋＋.证明(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即……＋＋＋＝＋＋＋.则当n＝k＋1时，…＋＋＋＋…＝＋＋＋＋…＝＋＋＋＋＋…＝＋＋＋＋＋…＝＋＋＋＋，即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．10．是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32…＋＋n·(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？解假设存在a、b、c使等式成立，令n＝1,2,3，得解之得a＝3，b＝11，c＝10，故对n＝1,2,3等式，1×22＋2×32…＋＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)成立．用数学归纳法证明：①当n＝1时等式成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即1×22＋2×32…＋＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)成立．当n＝k＋1时，左边＝[1×22＋2×32…＋＋k(k＋1)2]＋(k＋1)·(k＋2)2＝k(k＋1)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋1)(k＋2)[k(3k＋5)＋12(k＋2)]＝(k＋1)·[(k＋1)＋1]·(3k2＋17k＋24)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，∴n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对n∈N*等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c＝10，题设等式对一切n∈N*都成立．
