第2课时数学归纳法应用举例(习题课)一、选择题1．用数学归纳法证明1＋r＋r2…＋＋rn＝(n∈N，r≠1)，在验证n＝0时，左端计算所得项为()．A．1B．rC．1＋rD．1＋r＋r2答案A2．n条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)等于()．A．nB．n＋1C.n(n－1)D.n(n＋1)答案A3．设f(n)…＝＋＋＋＋＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.B.C.＋D.＋－答案D4．在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()．A．n＝1成立B．n＝2成立C．n＝3成立D．n＝4成立答案C5“．用数学归纳法证明时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．答案2k三、解答题8．已知Sn＝1…＋＋＋＋＋(n>1，n∈N*)．求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，不等式成立.(2)假设n＝k(k≥2)时不等式成立，即S2k＝1…＋＋＋＋＋>1＋，当n＝k＋1时，S2k＋1＝1……＋＋＋＋＋＋＋＋>1…＋＋＋＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋.故当n＝k＋1时不等式也成立，综合(1)(2)知，对任意n∈N*，n≥2，不等式S2n>1＋都成立.9．平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)＝个部分．证明(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两部分，而f(1)＝＝2，∴命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)＝个部分．则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k＋1个平面部分．∵f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1＝＝，∴当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N*时，命题成立．10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋，且存在x0∈，使f(x0)＝x0.(1)证明：f(x)是R上的单调增函数；(2)设x1＝0，xn＋1＝f(xn)，y1＝，yn＋1＝f(yn)，其中n＝1,2…，.证明：xn0，∴f(x)是R上的单调增函数．(2)∵00＝x1，y2＝f(y1)＝f＝<＝y1.综上，x1
