第一讲空间几何体一、选择题1．(·广东)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是()解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的正投影，故选D.答案：D2．(·陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.B.C．1D．2解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和为直角边的直角三角形，高为的直三棱柱，∴V＝×1××＝1，故选C.答案：C3．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析：方法一：设三棱锥另一棱长BC＝x，如右图，取BC的中点E，连结AE、DE，易证BC垂直于平面ADE，故VA－BCD＝S△ADE·BE＋S△ADE·EC＝S△ADE·BC＝··a·x≤＝·＝，当且仅当x2＝(3a2－x2)⇒x＝a时取得等号．方法二：如上图，底ABD是固定的，当C动起来时，显然当平面CAD⊥平面ABD时高最大，体积最大，Vmax＝··a＝.答案：C4．如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.B.C.D.解析：如右图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝××＋××＋×1＝.故选A.答案：A5．(·全国Ⅰ)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为()A.B.C．2D.解析：解法一：设AB＝a，CD＝b，异面直线AB与CD所成角为θ，距离为h，将△BCD补成平行四边形BCDE，则BE＝b，∠ABE＝θ，∴VA－BCD＝VA－BDE＝VD－ABE＝×absinθ·h＝abhsinθ，由题意知a＝b＝2，分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，则h＝2，∴VA－BCD＝×2×2×2sinθ＝sinθ≤，当θ＝90°时取等号．解法二：分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，将四面体ABCD放入长方体中，如图，设长方体的底面边长为a、b，则VA－BCD＝V长方体＝ab×2＝ab，又由a2＋b2＝4≥2ab得ab≤2，则VA－BCD≤，故选B.解法三：过CD作平面PCD，使AB⊥面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有VA－BCD＝×2××2×h＝h，当球直径通过AB与CD的中点时h最大，hmax＝2＝2，故Vmax＝.答案：B二、填空题6．(·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2.答案：27．半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．解析：由题意可知，P在圆面上的射影是圆心O.易得PA＝2，AO＝2，AF＝2，∴S△PAF＝AF·＝.∴正六棱锥的侧面积为6.答案：68．(·江西)正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为2的球，若A、B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为________．解析：设O为球心，O1为正△ABC的中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，由已知条件∠AOB＝，则AB＝AO＝2，AO1＝AB＝，OO1＝＝，则V正三棱柱＝S△ABC·2OO1＝(2)2·＝8.答案：89．(·江西)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．解析：将三棱锥O－ABC补形成如图所示的长方体，连CF、OE，OE与AB交于点D，则平面OCD将三棱锥体积平分，A到平面OCD的距离d＝，有2×d·S3＝×OA·OB·OC，则S3＝；同理S2＝，S1＝，而S＝，S＝，S＝，∴S>S>S，因此S1>S2>S3.答案：S3
