【创新设计】-学年高中数学6.1.3面积和体积公式活页训练湘教版必修31．一个正方体的表面积为6，并且正方体的各个顶点都在一个球面上，则此球的体积为()．A.B.C.πD.解析设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a2＝6，∴a＝1，∴2R＝，即R＝V＝πR3＝π×＝π答案D2．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为()．A.B.C.D.解析设正方体棱长为a，S正方体全＝6a2，而正四面体的棱长为a，S正四面体全＝4·(a)2＝2a2，∴＝＝.答案B3．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面面积是()．A．130B．140C．150D．160解析如右图，直棱柱ABCD—A1B1C1D1，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝5，BD1＝9，A1C＝15，可求得AC＝＝10，BD＝＝2.所以AB＝BC＝C1B1＝A1B1＝＝8.所以棱柱侧面积为4×5×8＝160.答案D4．一个球的表面积扩大为原来的3倍，那么该球的体积扩大为原来的________倍．解析球的表面积扩大为原来的3倍，则球的半径扩大为原来的倍，所以球的体积扩大为原来的()3＝3倍．答案35．已知圆锥的高为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为________．解析由题意知圆锥的底面半径r＝＝3.∴S侧＝×2π×3×5＝15π.答案15π6．在球中有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．解(1)当球心在两截面同侧时，如图甲，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．同理π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15.∴R＝25(cm)∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，∴球的表面积为2500πcm2.(2)当球心在两个截面之间时，如图乙所示．设OD＝x，则OC＝9－x.由题意得π·AC2＝49π∴AC＝7cm.同理可得BD＝20cm.设球半径为R，则由题意得x2＋202＝R2＝(9－x)2＋72即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上所述，所求球的表面积为2500πcm2.7．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()．A．3∶2B．2∶1C．4∶3D．5∶3解析设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝l×，∴r＝，∴＝＝＝.答案C8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又AD＝a，AO＝a，OO2＝，设球的半径为R，则R2＝AO＝a2＋a2＝a2.∴S球＝4πR2＝4π×a2＝πa2.答案B9．一个棱台的高为20cm，体积为1720cm3，两底面对应边的比为5∶8，则这个棱台的两个底面积为________．解析设这个棱台的两底面面积为S1，S2，则S1∶S2＝25∶64.∴V＝h(S1＋S2＋)＝×20(S2＋S2＋)＝×20(S2＋S2＋S2)＝1720.∴S2＝128cm2，S1＝×128＝50cm2.答案50cm2,128cm210．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.解析该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.答案14411．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解(1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO＝4，O点是AC与BD的交点．∴该几何体的体积V＝×8×6×4＝64.(2)如图所示，侧面VAB中，VE⊥AB，则VE＝＝＝5，∴S△VAB＝×AB×VE＝×8×5＝20.侧面VBC中，VF⊥BC，则VF＝＝＝4.∴S△VBC＝×BC×VF＝×6×4＝12，∴该几何体的侧面积S＝2(S△VAB＋S△VBC)＝40＋24.12．(创新拓展)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径．解如图，设钢球的半径为R，得钢球的体积为V球＝πR3.钢球被放入水中后，瓶里所装的水由8cm上升到8.5cm，可得水实际升高0.5cm.∴升高的水的体积V水＝πr2×h＝π×32×0.5＝4.5π.∵V球＝V水，∴πR3＝4.5π，∴R3＝＝，∴R＝＝1.5(cm)．故钢球的半径为1.5cm.
