高等电磁理论第二章电磁场的辅助函数jteω一．电磁位函数1.矢量磁位和标量电位（时谐场）只有电流源时:eBA=∇×��()eeEjBjAωω∇×=−=−∇×���()0eEjAω∇×+=��⇒eEjAωφ+=−∇��⇒eEjAφω=−∇−��eeDHJt∂∇×=+∂���1()eAJjEJjjAωεωεφωμ∇×∇×=+=+−∇−�����根据：0eeceeeveveDHJtBEtDBJtρρ∂∇×=+∂∂∇×=−∂∇⋅=∇⋅=∂∇⋅=−∂��������高等电磁理论22()AAAJjAμωμεφωμε∇×∇×=∇∇⋅−∇=−∇+�����22()AAJAjωμεμωμεφ∇+=−+∇∇⋅+����22kωμε=22AkAJμ∇+=−���ερφφ−=+∇22k设矢量磁位满足方程：同理可得：0Ajωμεφ∇⋅+=�洛仑兹条件：eBA=∇×��eAEjAjjAφωωωμε∇∇⋅=−∇−=−−����可见，由电荷和电流产生的电磁场可用矢量磁位表示：(')d4'jkrrJeAVrrμπ−−⋅=−∫∫∫�������矢量磁位的解为：高等电磁理论只有磁流源时：0mmmmmmmmmmDHtBEJtBDJtρρ∂∇×=∂∂∇×=−−∂∇⋅=∇⋅=∂∇⋅=−∂��������2.矢量电位和标量磁位mmDA=−∇×��引入矢量电位：mA�()mmmHjDjAωω∇×==−∇×���()0mmHjAω∇×+=��mmmHjAωφ+=−∇��mmmHjAφω=−∇−��引入标量磁位：mφ22mmmAkAJε∇+=−���22mmmkφφρμ∇+=−类似可得：0mmAjωμεφ∇⋅+=�洛仑兹条件：矢量电位的解为：(')d4'jkrrmmJeAVrrεπ−−⋅=−∫∫∫�������高等电磁理论eAtμε∂Π=∂��0Atφμε∂∇⋅+=∂�eAttφμεμε∂Π∂∇⋅=−=∇⋅∂∂��eφ=−∇⋅Π�二.赫兹矢量1.电赫兹矢量位定义：已知：得：mmDA=−∇×��2()mmmAHjAkω∇∇⋅=−+���可见，由磁荷和磁流产生的电磁场可用矢量电位表示：211()mEjAAAkωε=−+∇∇⋅−∇×����211()mmHjAAAkωμ=−+∇∇⋅+∇×����由电流源和磁流源共同产生的电磁场可表示为：高等电磁理论22()eeeBAtEtμεμε∂⎧=∇×=∇×Π⎪∂⎪⎨∂Π⎪=∇∇⋅Π−⎪∂⎩������tEH∂∂=×∇��ε11()()eeBttμεεμμ∂∂∇×=⋅∇×∇×Π=∇×∇×Π∂∂���22()eeEtttεεμε∂Π∂∂=∇∇⋅Π−∂∂∂���220eeetμε∂Π∇×∇×Π−∇∇⋅Π+=∂���2eee∇×∇×Π=∇∇⋅Π−∇Π���2220eetμε∂Π∇Π−=∂��电磁场表示为：在无源区：所以：矢量运算：可见，电赫兹矢量位满足波动方程：高等电磁理论2eeeE=∇∇⋅Π−∇Π=∇×∇×Π����电场：mmAtμε∂Π=∂��mmΦ=−∇⋅Π�22mmmEtHtμμε⎧∂Π=−∇×⎪⎪∂⎨∂Π⎪=∇∇⋅Π−⎪∂⎩�����2220mmtμε∂Π∇Π−=∂��mHΠ×∇×∇=��2.磁赫兹矢量位定义：根据对偶原理：磁赫兹磁矢量位也满足波动方程：磁场：高等电磁理论meemEtHtμε⎧∂Π=∇×∇×Π−∇×⎪⎪∂⎨∂Π⎪=∇×+∇×∇×Π⎪∂⎩������⎪⎩⎪⎨⎧=Π+∇=Π+∇0)(0)(2222mekk��⎪⎩⎪⎨⎧−=Π+∇−=Π+∇MkPkme����)~()~(2222εekωμε=�PJjω=��mMJjωμ=��在有源均匀区域中：结论：在时谐场中，无源区域赫兹矢量满足齐次亥姆霍兹方程。在有耗媒质中：其中：（复数）理想介质：高等电磁理论用分离变量法求上述方程，设⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇002222HkHEkE����220kψψ∇+=22222220kxyzψψψψ∂∂∂+++=∂∂∂三.标量波函数1.在直角坐标系中：根据麦克斯韦方程可导出：将直角坐标系中，三个分量满足的齐次标量Helmholtz方程如下：上式中的表示，的任一个分量。ψE�H�称为矢量波动方程或齐次矢量Helmholtz方程。⇒()()()ZxYyZzψ=0)()(1)()(1)()(12222222=+∂∂+∂∂+∂∂kzzZzZyyYyYxxZxZ则：高等电磁理论常微分方程：2222222221()()1()()1()()xyzdZxkZxdxdYykYydydZzkZzdz⎧=−⎪⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=−⎪⎪⎩亦称为特征方程。其中：称为特征值，且2222xyzkkkk++=,,xyzkkk这几个方程形式相同，解的形式也相同，解的形式通常有三角函数、指数函数等。这些解函数称为基本的波函数也称为谐函数。常用表示，为直角坐标系的标量波函数。)(xkhx)(ykhy)(zkhz()()()kxyzhkxhkyhkzψ=则：121212(sincos)(sincos)(...
