【创新设计】-学年高中数学7.5空间直角坐标系活页训练湘教版必修31．点A(－3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是()．A．(，1，－2)B．(，2,3)C．(－12,3,5)D．(，，2)解析由中点坐标公式可得中点坐标为(，2,3)．答案B2．已知两点M1(－1,0,2)，M2(0,3，－1)，此两点间的距离为()．A.B.C．19D．11解析利用两点间的距离公式可得|M1M2|＝＝.答案A3．点M(3，－2,1)关于面yOz对称的点的坐标是()．A．(－3，－2,1)B．(－3,2，－1)C．(－3，－2，－1)D．(－3,2,1)解析关于面yOz对称的两个点应该是横坐标互为相反数，纵、竖坐标不变．答案A4．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．解析从图形上看，点P关于平面xOz对称后，它的纵坐标为相反数，其他不变，因此第一个应填(－3，－2，－1)；P关于z轴对称后，它的竖坐标没变，因此第二个应填(3，－2，－1)；P关于M(1,2,1)对称后，实质上所求点与点P的中点是M，因此横坐标为5，纵坐标为2，竖坐标为3，因此第三个应填(5,2,3)．答案(－3，－2，－1)(3，－2，－1)(5,2,3)5．已知点P(，，z)到线段AB的中点的距离是3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.解析AB的中点为Q(，，－2)，则＝3，解得z＝0或－4.答案0或－46．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．解以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.所以点E的坐标为(1，，0)，点F的坐标为(1,2,1)．7．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确的个数是()．A．3B．2C．1D．0解析①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)，①错；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(－x，y，z)，②错；③点P关于y轴的对称点的坐标是(－x，y，－z)，③错；④正确．故选C.答案C8．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的长为()．A．2B．4C．2D．2解析点C的坐标为(1,2,1)，点B的坐标为(1，－2,1)，所以|BC|＝2－(－2)＝4.答案B9．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy面的距离为n，则m2＋n＝________.解析∵点M(4，－3,5)到x轴的距离为m＝＝，到xOy面的距离为n＝5，∴m2＋n＝39.答案3910．已知长方体ABCDA1B1C1D1的四个顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,3)．则该长方体对角线的长为________．解析长方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，B，D，A1分别在原点，x轴，y轴和z轴的正半轴上，所以点C，B1，C1，D1的坐标分别为C(1,2,0)，B1(1,0,3)，C1(1,2,3)，D1(0,2,3)．由两点间距离公式，得|AC1|＝＝，由长方体的性质，得|A1C|＝|BD1|＝|AC1|＝|B1D|，所以对角线的长为.答案11．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.解由空间两点间的距离公式得|AB|＝＝＝当x＝时，|AB|有最小值＝，此时A(，，)，B(1，，)．12．(创新拓展)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF.证明如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝|AD|＝2，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．∴|PB|＝＝2，|BC|＝＝2，∴|PB|＝|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF.同理，|PE|＝|CE|，PC⊥EF.
