9.3等比数列(二)双基达标(限时20分钟)1．等比数列中，a4＝4，则a2·a6＝()．A．4B．8C．16D．32解析a2·a6＝a＝16.故选C.答案C2．已知各项均正的等比数列中，lg(a3·a8·a13)＝6，则a1·a15的值为()．A．100B．1000C．10000D．10解析lg(a3·a8·a13)＝lga＝6，a＝106⇔a8＝102＝100，a1·a15＝a＝10000，故选C.答案C3．若，都是等比数列，则下列数列中仍是等比数列的是()．A.B.C.D.答案C4．在等比数列中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝__________．解析∵a7·a12＝a8·a11＝a9·a10∴a8a9a10a11＝52＝25.答案255．在等比数列中，若a4a7＋a5a6＝20，则此数列的前10项之积为________．解析由性质可知a4a7＝a5a6，所以a4a7＝10.∴a1a2…a10＝(a4a7)5＝105.答案1056．若数列满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，求数列的通项公式．解∵an＋1＝3an＋2，两边加1，∴an＋1＋1＝3an＋3＝3(1＋an)．∴数列是等比数列，且以a1＋1为首项，3为公比，1∴＋an＝(a1＋1)·3n－1＝3·3n－1.∴an＝3n－1.综合提高限时25分钟7．在等比数列中，a4·a7＝－512.a3＋a8＝124，且公比q为整数，则a10的值等于()．A．－512B．512C．4096D．－4096解析根据等比数列的性质，得a4·a7＝a3·a8，∴解得或由于q是整数，故将a3＝128，a8＝－4舍去．∴＝q5＝－32，q＝－2，a1＝－1，∴a10＝a1q9＝512.答案B8．已知等比数列的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()．A.B.C.D．2解析因为a3·a9＝2a，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a＝2a，所以＝2，即＝q2＝2，因为公比为正数，故q＝，又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.答案B9．三个数，1，成等差数列，三个数a2，1，c2成等比数列，则＝________．解析a2·c2＝1，∴a·c＝±1.∴2＝＋＝，∴＝＝＝＝＝*.若a·c＝1，则*＝1.若a·c＝－1，则*＝－.答案1或－10．若a＋b＋c，b＋c－a，a＋c－b，a＋b－c成等比数列，公比为q，则q＋q2＋q3的值为________．解析依题意得b＋c－a＝(a＋b＋c)q，a＋c－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3，所以a＋b＋c＝(a＋b＋c)(q＋q2＋q3)，即q＋q2＋q3＝1.答案111．等比数列中，a3＋a7＋a11＝28，a3·a7·a11＝512，求an.解∵a3a11＝a2a12＝a，∴a＝512，∴a7＝8，∴∴a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.∴或又a11＝a3·q11－3＝a3·q8，∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝±.∴an＝a3qn－3＝4(±)n－3或an＝16.12．(创新拓展)李政道博士1979年访问中国科技大学，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边五个猴子分一堆苹果，第一个猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二个猴子把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？解设最初的苹果数为a1，五个猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，由题意得：an＋1＝an－1－(an－1)＝an－，不难得出：an＋1＋4＝(an＋4)，∴an＋4＝(a1＋4)，n＝1，2，3，4，5，6.a6＝(a1＋4)·－4，a6是整数．∴a1＋4的最小值是55，即a1的最小值是55－4＝3121.即最初至少有3121个苹果，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1020个苹果
