未来艺术学校八年级数学培优班假期讲义姓名:___________学校:_____________班级:_____________精选第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。精选5.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中，AE=AD∠A=∠AAB=AC.∴ΔACD≌ΔABE(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∠B=∠C∠BFD=∠CFE（对顶角相等）BD=CE∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）精选∴BF=FC（全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CDDCBAEF分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明： DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，AF=CE（已知）∠DEC＝∠BFA（已证）DE=BF（已知）∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A(全等三角形对应角相等)∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。精选证明：取CD中点F，连接BF∴BF=12AC,且BF∥AC（三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2(两直线平行内错角相等)又 AB=AC∴∠ACB＝∠3（等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，BF=BE∠3＝∠2CB=CB∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)∴CE=CF=12CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.AEBDCF4123在ΔAEC与ΔBEF中，AE=BE∠1＝∠2（对顶角相等）CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形对应边、对应角相等)∴BF∥AC(内错角相等两直线平行) ∠ACB+∠CBF=1...
