2019--2020人教版数学八年级代数经典集锦---一题多解在初中几何的证明和求解中，需要培养学生严密推理论证能力、灵动转化变换思维等方面素养，而在初中代数的计算过程中，需要培养学生多角度、多维度思考问题，掌握整体与局部、特例分析等全方位能力，从而寻求结果，下面以一道经典例题的不同解法，展开思维训练。1、已知：xy=-2，则x2-2xy-3y2x2-6xy-7y2=.解法一：令x=2,y=-1,则x2-2xy-3y2=22-2*2*(-1)-3*(-1)2=4+4-3=5，X2-6xy-7y2=22-6*2*（-1）-7*（-1）2=4+12-7=9，所以，原式=59.李老师点评：本解法是最简单却学生最不容易想到的解法。原式看起来很复杂，x,y只给出了比例关系，没有给出具体数值，那么取特例也是满足题设要求的，所以，当没有寻找到更好的解决办法时，可以取特殊值进行计算。解法二：由已知比例xy=-2变形有：x=-2y┅┅①将①带入原式有：x2-2xy-3y2=(-2y)2-2*(-2y)*y-3y2=5y2,X2-6xy-7y2=(-2y)2-6*(-2y)*y-7y2=9y2,x2-2xy-3y2x2-6xy-7y2=59.李老师点评：本解法使用了带入消元法进行解题，带入消元法是解决含有未知数类求值问题最基本的解题方法之一。解法三：∵xy=-2，∴x≠0，y≠0则将原式分子和分母同时除以y2得到：x2-2xy-3y2x2-6xy-7y2==59=李老师点评：本解法是一种技巧型解法，首先通过观察x,y的取值情况以及原式中分子分母所含式子，我们会发现：x,y都不等于0，同时分子分母其实每一项都是二次项（将x,y都看作未知数），所以分子分母同时除以y2，便可以轻松的将原式化成已知条件中的样子，从而得解。老师这里分子分母同时除以y2，同学们可以自行除以x2试试看。下面，我们来看另外一道题的不同解法，再次体会其中的奥妙之处：2、已知x2-3x+1=0，则x2x4+x2+1=.解法一：1-2*xy-3*x2y21-6*xy-7*x2y21-2*(-2)-3*(-2)21-6*(-2)-7*(-2)2x2+1=3x两边平方x^4+2x2+1=9x2两边减去x2x^4+x2+1=8x2所以x2/(x^4+x2+1)=18解法二：∵x2-3x+1=0-----①,∴x≠0将①左右同时除以x得到：x-3+1x=0,x+1x=3两边同时平方：x2+2+1x2=9，x2+1x2=7，将原式上下同时除以x2得：=18.解法三：∵x2-3x+1=0-----①,∴将①移项得：x2=3x-1-----②将②带入分母替换消元有：X4+x2+1=(3x-1)2+x2+1=9x2-6x+1+x2+1=10x2-6x+2=10（3x-1）-6x+2=24x-8=8(3x-1)∴x2x4+x2+1=3x-18(3x-1)=18解法四：∵x2-3x+1=0-----①∴将分母凑项变形如下：X4+x2+1=x2*(x2-3x+1)+3x3-x2+x2+1=x2*(x2-3x+1)+3x*(x2-3x+1)+9x2-3x-x2+x2+1=x2*(x2-3x+1)+3x*(x2-3x+1)+8x2+(x2-3x+1)=8x2,∴x2x4+x2+1=x28x2=1821121xx
