1例谈以平面向量背景的高考试题平面向量进入中学教材，为使用代数方法研究问题提供了强有力的工具，高中几何改革的趋势是几何问题代数化，向量具有“双重身份”，可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换。正是由于“双重身份”使它成为知识的交汇点，成为联系多种知识的媒介。纵观五年与平面向量有关的试题，可以发现：客观题考查平面向量的基础知识；主观题则是以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的综合性问题。题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理。1、平面向量内部的整合以平面向量内部知识的小综合性试题在高考试卷中屡见不鲜，这类问题主要是突出向量的加减运算、模、夹角等问题，题目体现了小、巧、活的特点，但试题的难度中档偏下。例1：（2003年全国（江苏·天津卷）高考题第5题），O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，0,，则P的轨迹一定通过ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心思路分析：此题关键是理解：ABAB、ACAC均单位向量，它们的和是以这两条单位向量为一组邻边构成的菱形对角线。解：ABAB、ACAC均为单位向量1e、2e其方向分别与AB、AC同向。由加法的几何意义知：12ee对应一个平行四边形AMQN的对角线AQ。又121ee，AMQN是菱形，AQ是BAC的角平分线。又原式,APAQ点P在BAC的角平分线上，P的轨迹必过ABC的内心，故选B。解题回顾：本题是平面几何与平面向量整合的能力型小题，解决问题的方法主要是灵活运用平面向量的加法运算及几何意义，实数与向量的积的运算等等。从阅卷情况来看学生的失分率极高，大大超出命题者的意料，学生之所以失分，主要的原因是对向量的运算缺乏理解，特别是几何意义的理解与运用是欠缺的。所以我们应该强调让学生进行一些向量的几何运算，积累一些典型的图形结论，以便帮助他们打开解题的思路。2、平面向量与数列的整合数列的通项公式na与前n项和nS分别是关于n的一次函数和二次函数类型，它们都可以用二维量,,,nnnanS来刻划；向量的数量积是实数，这样就与平面向量进行有机的结2合，可以编拟一些优秀的试题。例2：（2002年全国（天津·江西·山西）高考第21题）已知两点1,0,1,0MN，有点P使MPMN，PMPN，NMPN成公差小于零的等差数列。（Ⅰ）点P的轨迹是什么？（Ⅱ）若点P的坐标是00,xy，为PM与PN的夹角，求tan。思路分析：设P点坐标为,xy，要求P点的轨迹方程，就是要寻找点P横坐标与纵坐标的关系式，只要能正确运用向量的坐标运算将给出的三组“两个向量的数量积”成等差数列这一题设条件用x、y之间的关系式表达出来，并注意公差小于零这一条件，就不难求出P点的轨迹，根据向量的数量积公式及同角三角函数关系方可求出tan。解：（Ⅰ）设点P的坐标为,xy，1,MPPMxy，2,0MNNM，1,NPPNxy，21,MPMNx22111PMPNxxyyxy，22NMNPx。MPMN，PMPN，NMPN成等差数列，且公差小于零。22212222xyxx，223xy，点P的轨迹是以原点为圆22220xx，0x。心，以3为半径的图在y右侧的一部分。（Ⅱ）P点的坐标为00,xy，是PM与PN的夹角，001,PMxy，001,PNxy。由数量积定义知：2200222200001cos11xyPMPNPMPNxyxy。又22003xy，220000221cos04242244xxxx。0,2200tan3xy。解题回顾：本题依托平面直角坐标系，考查向量的坐标运算及向量的数量积、等差数列、轨迹方程、三角函数求值等基础知识。该题难度不大，但从阅卷情况看，考生答题并不理想。究其原因：一是对平面向量的基础知识掌握不熟练；二是当前考生对这类综合性问题较为陌生。2002年的这高考试题是在向量与数列、轨迹知识网络交汇处的一道优秀试题。3、平面向量与三角函数整合将三角函数变换与平面向量的数量积进行有机结合。不仅考查三角变换而且深化了向3量的运算，同时也拓宽了三角与向量的命题范围。例3：（2004年全国（福建卷）高考第17题）设函数fxab，其中向量2cos,1ax，cos,3sin2,bxxxR。（Ⅰ）若13fx且,33x，求x；（Ⅱ）若函数2sin2yx的图象按向量,2cmnm平移后得到函数yfx的图象，求实数m、n的值。思路分析：利用向量数量积的...
