（有问题请更正并通知xiezg@ntu.edu.cn）第二章信息的度量1．一珍珠养殖场收获240颗外观及重量完全相同的特大珍珠，但不幸被人用外观相同但重量仅有微小差异的假珠换掉1颗。（1）一人随手取出3颗，经测量恰好找出了假珠，问这一事件大约给出了多少比特的信息量；（2）不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6次能找出，结果确是如此，问后一事件给出多少信息量；（3）对上述结果作出解释。解：（1）从240颗珠子中取3颗，含1颗假珠的概率为80132402239CCP)(32.680loglog22bitPI（2）240颗中含1颗假珠，用天平等分法最多6次即可找到假珠，是必然事件，因此信息量为0。（3）按照shannon对信息量的定义，只有事件含有不确知成分，才有信息量，且不确知成分越大，信息量越大，必然事件则没有信息量。但从广义信息论来说，如果那人不知用天平二分法找假珠，另一人告之此事，使他由不知到知，也应该含有一定的信息量。2．每帧电视图像可以认为是由3105个象素组成，所有象素均独立变化，且每一象素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平等概率出现。问每帧图像含有多少信息量？如果一个广播员在约10000个汉字的字汇中选取1000个字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，且彼此独立）？若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需用多少汉字？解：设电视图像每个像素取128个不同的亮度电平，并设电平等概率出现，则每个像素亮度含有的信息量为7128)(HlbX比特/像素一帧中像素均是独立变化的，则每帧图像信源就是离散亮度信源的无记忆N次扩展信源。得每帧会图像含有的信息量为6101.2)()(XNHXHN比特/每帧广播口述时，广播员是从10000个汉字字汇中选取的，假设汉字字汇是等概率分布的，则汉字字汇中每个汉字含有的信息量29.131000)(lbYH比特/字广播员口述电视图像是从此汉字字汇信源中独立地选取1000个字来描述的。所以，广播员描述此帧图像所广播的信息量为4410329.1101000)()(lbYNHYHN比特/千字若广播员仍从此汉字字汇信源Y中独立地选取汉字来描述电视图像，每次口述一个汉字含有信息量是H(Y)，每帧电视图像含有的信息量是)(NXH，则广播员口述此图像至少需要的汉字数等于1580001058.129.13101.2)()(56YHXHN字3．已知X：1,0P(X)：p,1–p(1)求证：H(X)=H(p)(2)求H(p)并作其曲线，解释其含义。（1）证明（2）该H(p)曲线说明，当0与1等概出现时，即p=0.5时，熵最大。当p由0.5分别趋向于0和1时，熵逐渐减小至0。4．证明H(X3|X1X2)H(X2|X1)，并说明等式成立的条件。证明：设离散平稳信源输出的随机符号序列为⋯X1,X2,X3,⋯。又设11Xx,22Xx,33Xx,而且321,,xxx都取自于同一符号集gaaaA,,,21，并满足有1)()()(,1)|(,1)|(,1)|(3213323212132312XXXXXXxPxPxPxxxPxxPxxPH(p)10.510p)0()1()1()(IppIXH)()1()1(pHplbpplbp)()()()()()(1)(1)()()(213213132132321321313221321123132312xxPxxxPxxPxxxPxxPxxxPxxxPxxPxxPxxPXXXXXXXXXXXX在区域[0，1]内设f(x)=－xlogx,f(x)在[0，1]内是型凸函数，所以满足詹森不等式qiqiiiiixPfxfP11)()(其中11iqiP现今)|(123xxxPxi,设其概率空间为)|(21xxP，并满足11)|(21XxxP所以根据詹森不等式得)|()|(log)|()|()|(log)|()|(])|(log[])|([]log)[|(213212132121321321212121111111xxxPxxPxxxPxxPxxxPxxxPxxPxxxPxxxPxxxxPXXXXiXiXii所以)()|()()|()()(22322313232111xPxxPxPxxxPxxPxxxPXX上式对所有321,,xxx的取值都成立，所以)|(log)|()|(log)|()|()|()|()|()|(2323213231232132123231111xxPxxPxxxPxxxPxxPxxxPxxPxxPxxxPXXX所以因为222,1)(0XxxP，所以上式两边相乘，等号不变。有)|(log)|()()|(log)|()(2323221323121xxPxxPxPxxxPxxxPxPX上式对所有32,xx都成立，所以对所有32,xx求和下式也成立23123)|(log)()|(log)(2332213321XXXXXxxPxxPxxxPxxxP因为H(X3|X1X2)H(X3|X2)所以是平稳信源H(X3|X2)=H(X2|X1)得H(X3|X1X2)H(X2|X1)只有当)|()|(23213xxPxxxP(对所有321,,xxx)时等式成立。5．设有一概率空间，其概率分布为{p1,p2,⋯,pq}，且p1>p2。若取1'1pp，2'2pp，其中0<2p1–p2，而其它概率值不...
