13.4课题学习最短路径问题一、选择题1.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）．（第1题图）A.15°B.22.5°C.30°D.45°2.如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（）．（第2题图）A.B.6C.D.3.已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF的周长的最小值等于2，则α＝（）．（第3题图）A.30°B.45°C.60°D.90°4.直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A.B.C.D.5.如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）．（第5题图）A.3B.4C.5D.66.加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（）米．（第6题图）A.8B.9C.6D.77.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（）．（第7题图）A.B.4C.D.5二、填空题8.已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．M（第8题图）9.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为.（第9题图）10.如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm，M、N分别是射线OA、OB上的动点．若∠AOB=30°，则△PMN的周长的最小值为.（第10题图）三、解答题11.已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．（第11题图）12.某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（第12题图）13.如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）（第13题图）14.在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）（第14题图）参考答案1.C2.D3.A4.D5.B6.D7.C8.100°分析：如图,作出P点关于OM,ON的对称点P1,P2交OM,ON于A,B两点,此时△PAB的周长最小,根据题意可知:∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140,所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠P1PP2=40°,所以∠APB=140°－40°=100°.（第8题答图）9.5分析：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N. BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值． 三角形ABC的面积为10，AB=4，∴21×4?CE=10，∴CE=4102＝5．即CM+MN的最小值为5．（第9题答图）10.5cm分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． 点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA. 点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5cm．∴△PMN的周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．（第10题答图）11.解：（1）如图所示．画法：①作点M关于射线OP的对称点M'；②连接M'N交OP于点A；③作点N关于射线OQ的对称点N'；④连接N'M交OQ于点B．（2）AM＋AN与BM＋BN的大...
