微专题：规律探究问题【河北热点】◆类型一正多边形中的规律问题1．(2017·唐山玉田县二模)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第1题图第2题图2．(2017·南宁中考)如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置⋯⋯则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为________．3．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫正多边形．如图就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：(1)将下面的表格补充完整：正多边形边数3456⋯n∠α的度数60°45°⋯(2)根据规律，是否存在一个正多边形，使∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．◆类型二特殊四边形中的规律问题4．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、⋯按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、⋯在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3∥⋯，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是()A.122016B.122017C.332016D.3320175.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，且∠D1AC＝60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，且∠D2AC1＝60°，⋯⋯按此规律所作的第六个菱形的边长为()A．9B．93C．27D．273第5题图第6题图6．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接AF，FG，AE三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH对边的中点，又得到四个矩形，顺次连接GQ，QP，GN三边的中点，得到三角形②⋯⋯如此操作下去，得到三角形，则三角形①的面积为________，三角形的面积为________．参考答案与解析1．82n－1解析：∵直线y＝x与x轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形都是等腰直角三角形．∵A(8，4)，∴第4个正方形的边长为8，第3个正方形的边长为4，第2个正方形的边长为2，第1个正方形的边长为1.∴第n个正方形的边长为2n－1.2．(6053，2)解析：∵3＋2＝5，∴第一次旋转P1(5，2)，6＋2＝8，第二次旋转P2(8，1)，9＋1＝10，第三次旋转P3(10，1)，12＋1＝13，第四次旋转P4(13，2)，15＋2＝17，第五次旋转P5(17，2)⋯⋯发现点P的位置4次一个循环，横坐标每个循环增加12，∵2017÷4＝504⋯⋯1，∴P2017的纵坐标与P1的纵坐标相同为2，横坐标为5＋12×504＝6053，∴P2017(6053，2)．3．解：(1)36°30°180n°(2)不存在，理由如下：假设存在正n边形使得∠α＝21°，则∠α＝21°＝180n°，解得n＝847.∵n是正整数，∴n＝847(不符合题意要舍去)，故不存在正n边形使得∠α＝21°.4．C解析：∵四边形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3是正方形，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∴D1E1＝12C1D1＝12，C2E2＝12C2B2.在Rt△B2E2C2中，(B2E2)2＋(E2C2)2＝(B2C2)2，即122＋12B2C22＝(B2C2)2，解得B2C2＝33.同理可得：B3C3＝13＝332，⋯⋯故正方形AnBnCnDn的边长是33n－1，∴正方形A2017B2017C2017D2017的边长为332016.故选C.5．B解析：连接BD交AC于O，连接CD1交AC1于E.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AC⊥BD，∠BAO＝12∠DAB＝30°，OA＝12AC，BO＝12AB，∴OA＝AB2－BO2＝32AB＝32，∴AC＝2OA＝3.同理AE＝32AC＝32·3＝32，AC1＝2AE＝3＝(3)2，⋯⋯第六个菱形的边长为(3)5＝93，故选B.6.12122n－1解析：由题意得AF＝2，AE＝1，GQ＝1，GN＝12，则S三角形①＝12×2×12＝12；S三角形②＝12×1×14＝123；S三角形③＝12×12×18＝125；⋯⋯∴S三角形＝122n－1.
