小专题(五)四边形中的折叠问题1．(2017·广州)如图，E，F分别是?ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(C)A．6B．12C．18D．242．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A)A.2B．22C．1D．23．(2017·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．4．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．解：在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4，∴BE＝3.∴CE＝2.∴E点坐标为(2，4)．在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，又 DE＝OD，∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝52.∴D点坐标为(0，52)．5．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：由翻折的性质可得AF＝AB，∠F＝∠B＝90°. 四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∴AF＝CD，∠F＝∠D.又 ∠AEF＝∠CED，∴△AFE≌△CDE(AAS).(2) △AFE≌△CDE，∴AE＝CE.根据翻折的性质可知FC＝BC＝8.在Rt△AFE中，AE2＝AF2＋EF2，即(8－EF)2＝42＋EF2，解得EF＝3.∴AE＝5.∴S阴影＝12EC·AF＝12×5×4＝10.6．(2017·济宁)(教材P64“活动1”的变式)实验探究：(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；(2)将图1中的三角纸纸片BMN剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，并结合方案证明你的结论．图1图2解：(1)∠MBN＝30°.证明：连接AN. 直线EF是AB的垂直平分线，点N在EF上，∴AN＝BN.由折叠可知，BN＝AB，∴△ABN是等边三角形．∴∠ABN＝60°.∴∠MBN＝∠ABM＝12∠ABN＝30°.(2)MN＝12BM.折纸方案：折叠三角形纸片BMN，使点N落在BM上，并使折痕经过点M，得到折痕MP，同时得到线段PO.证明：由折叠知△MOP≌△MNP，∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝12∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°.∴∠BOP＝∠MOP＝90°.又 OP＝OP，∴△MOP≌△BOP.∴MO＝BO＝12BM.∴MN＝12BM.小专题(六)四边形中的动点问题——教材P68T13的变式与应用教材母题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？解：①设经过ts时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形． PD＝(24－t)cm，CQ＝3tcm，∴24－t＝3t，∴t＝6.∴当t＝6s时，PQ∥CD，且PQ＝CD.②设经过ts时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形． ∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF. AD＝24cm，BC＝26cm，∴CF＝BC－BF＝2cm.当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(24－t)＋4＝3t.∴t＝7.∴当t＝7s时，PQ＝CD.当四边形PQCD为平行四边形时，由①知当t＝6s时，PQ＝CD.综上所述，当t＝6s时，PQ∥CD；当t＝6s或t＝7s时，PQ＝CD.1．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，并且a，b满足b＝a－21＋21－a＋16.动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(秒)．(1)求B，C两点的坐标；(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P，Q两点的坐标；(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．解：(1) b＝a...
