xTgxT+gxT-g第二讲函数的极限limf(x)=AoV8>0,3X>a,xTglimf(x)=AoV8>0,3X>a,xT+glimf(x)=AoV8>0,3X>a,xT-g使得Vx:|x|>X,有|f(x)-A|<8.使得Vx:x>X,有|f(x)-A|<8.使得Vx:x<-X,有|f(x)-A|<8.一内容提要1.函数在一点处的定义limf(x)=AoVs>0,36>0,X-X0右极限使得Vx:0<|x-x0|<5,有If(x)-A|<8.limf(x)=AoV8>0,36>0,X-x才左极限使得Vx:00,35>0,彳吏得Vx:00，能找到某一个5，能使0<|x-x0|<5时，有If(x)-A<8即可.注3讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究f(x)是否无限趋近于A．注4limf(x)二Aolimf(x)=limf(x)=A.xTx。xTx+xTx-limf(x)=AoV{x}e<{x}IxnTx,且x丰x>,有limf(x)=A，称为nnn0n0nxTx0nT2归结原则一一海涅(Heine)定理.它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．(会叙述，证明，特别充分性的证明．)注6limf(x)丰Ao38>0,V5>0,0xTx02函数在无穷处的极限设f(x)在［a,+s)上有定义，则3x':080.xTgxT+gxT-g注1limf(x)=Aolimf(x)=limf(x)=A.4无穷大量limf(x)=goVG>0,38>0,xfxolimf(x)=goVG>0,3X>0,xfg使得Vx:0<|x-xJ<5,有|f(x)|>G.使得Vx:|x|>X,有|f(x)\>G.注2limf(x)=AoV{x}e<{x}Ix"芋讨,有limf(x)二A.nnnnxsnfg3函数的有界设f(x)在[a，+g)上有定义，若存在一常数M>0，使得Vxe[a，+g),有|f(x)|0和C>0,使得Vx:0<|x—xJ<5,有|f(x)|>C>0,xfx00则limf(x)g(x)=g■xfx0特别的，若limf(x)=g,limg(x)=A主0,则limf(x)g(x)=g.xfx0xfx0xfx05无穷小量若limf(x)=0，则称f(x)当xfx0时为无穷量.xfx00注I可将xfx0改为其它逼近过程.注2limf(x)=Aof(x)=A+a(x),其中lima(x)=0.由于有这种可以互逆的表xfx。xfx0达关系,所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代．注3limf(x)=0,g(x)在x0的某空心邻域内有界，则limf(x)g(x)=0.xfx0xfx0注4limf(x)=0,且当|x|足够大时，g(x)有界，则limf(x)g(x)=0.xfgxfx0注5在某一极限过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零的无穷小量的倒数是无穷大量6函数极限的性质以下以xfx为例，其他极限过程类似.0Ilimf(x)=A，则极限A唯一.xfx0(2)limf(x)=A,则38,M>0，使得Vx:0<|x—xj<5，有|f(x)|0,使得Vx:0<|x一x|<8,xfx。xfx00limf(x)土g(x)]=A土BxTx0limf(x)-g(x)二A-BxTx0lim=-(B丰0)xTxg(x)Bsinx〜x，tanx〜x，x21-cosx〜2，ex—1^〜x，ln(1+x)^〜x，(1+x)m—1^〜mx注这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．(4)limf(x)二A,limg(x)二B,且36>0当0<|x-xj<5时，f(x)0,使得Vx:0<|x-xj<5，有f(x)0,36>0,使得Vx',x〃，当0<|x'-x^|<6，0<|x''-x^|<6时，有|f(x')-f(x")|
