124第七章勒贝格积分理论简介本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。所说可测均指可测L。所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集E上的符号函数f是可以积分的当且仅当)(1iiyfyE是可测的，由此引入了可测函数的概念。但是从可测函数的角度考虑，可测函数可以另外的方式引入。本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。§1可测函数的定义刻画与运算我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。7.1定义：设f是定义在E上的函数，若对任意Ra集合)(afE是可侧集，称f是可侧函数。7.2命题.设f是集合E上的函数。(1)若E是可侧，f在E上连续，则f是E上可测函数。(2)若f是E上可测函数，Ra，则集合E，)(faE，)(faE,)(afE都是可测集。(3)若)0(fE，且f在E上可测，则f1是E上的可测函数。证明：(1)对任意Ra，)(afE是E中开集，即存在R中开集G,使得EGafE)(,故)(afE是可侧集。(2)结论可由如下的集合等式得到)(afEEn)()(afEEfaE125)1()(1fnaEfaEn)()(faEEafE(3)由0)1()0(0)0(0)0()1()1(aafEfEafEafEafEafE可知)1(afE是可侧集。■注：下面我们考虑的函数f可以是从E到,的映射。若)0(fE是零测集，f1在0点处处取值可以认为是或，视情况任意定义。不难看出，若0))0((fEm时，无论f1在0点取值如何定义，f1也是E上的可测函数(只要f在E上可测)。在将E上的可测函数f都看成是从E到,的广义实值函数时，7.2命题中的(2)就要补充证明)(fE是可侧集。但因)()(nfEEfEn，所以7.2命题中的(2)也是成立的。7.3定理：设)(nfn是E上的一列可测函数，nnfLimf，则f是E上可测函数。证明：因为对任意Ra，)1()(11mafEafEnNnNm再由可列个可侧集的交集，并集都可侧，可知)(afE可测，即f是可测函数。记上的可测函数是：EffEL)(，在)(EL中的函数可以进行加乘运算，函数列可以取上下极限等。那么，)(EL对这些有限或无限的运算是封闭的吗？为了使与之相关的验证更为直接，同时也是为了定义勒贝格积分时简明和自然，我们将讨论可测函数的另一种刻画方式。7.4定义：设E是一可侧集，称|E是E的一个可测分划，如果(ⅰ)126EE;(ⅱ)EE则,,,;(ⅲ)任意E,是可侧集。7.5定义：设E是一可侧集，是E上的一个函数，若存在E的一个可测分划niEi|，及实数,,,110naaa使得)()(xaxiEini(其中iiEE是的特征函数)便称是E上的一个简单(可测)函数。■常用来举例的狄里克雷函数就是一个简单函数。注：本书说的简单函数均是可测的简单函数。尽管在一般情况下，简单函数不一定非得可测不可，但是本书不讨论可测的简单函数。记上的简单函数是EES|)(。7.6命题：(1)可测集E上的简单函数是可测的。(2)若RaES),(，，则,,a均属于)(ES。证明：(1)由定义可知.(2)若aES),(显然属于)(ES。设jHjnjiEinia,于是mnjiHEEEjijiji),(,,,|是E的一个可测分划。简化jiE,的特征函数为),(ji，立刻可以验证,),(),()(jijimnjiba,),(),()(jijimnjiba■由简单函数的定义及7.3定理，立刻得7.7推论：若可侧集E上的函数f是一列简单函数列的极限，则f是E上的可测函数。■下面引入E上定义的函数f的另一种表示形式，记,)0(0,)0()()(fExfExxfxf127,)0(0,)0()()(fExfExxfxf由此定义，不难验证如下结果。7.8命题：f是E上的可测函数。(1)fff(2)若f可测，则)(xf与)(xf都是非负可测函数。■7.9定理：f是E上的可测函数当且当f是E上一列简单函数的极限。证明：当f是简单函数列的极限时，f当然是可测函数。现设f是可测函数。因为fff，若能证明每个非负可测函数都是简单函数的极限，则有简单函数列。使得,,fLimfLimnnnnnnn,)(于是)(ngnnn,-也是简单函数列，且fSLimnn,结论即得。因此，下面只就f是非负可测函数的情况讨论即可。对每个给定的非0)(n。记nnnknnkkfkEE2),212(,)(nfEEn简证knknE,,为的特征函数，nnE为的特征函数。则knnnnknnknx,1202)(是一简单函数，且1,)(nnnfx，对任意的n成立。任取Ex,若)()(,)(,,)(1xLimxfnxExxfnnnnn即于是则。若,)(xf对任意的,0存在mm21,1，又存在22)(,mxfm，取21...
