北大自主招生数学考试2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2015北大自主招生数学试题第3页共7页一.选择题1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1，则(1+2x)(1+2y)(1+2z)可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3.已知x∈[0,2]，对任意实数a，函数y=2cosx-2acosx+1的最小值记为g(a)，则当a取遍所有实数时，g(a)的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4.已知2010-202是2n的整数倍，则正整数n的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD的面积等于2ABCDBCAD，则CD的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二.填空题6.满足等式12015111+)(1)2015xx（的整数x的个数是_______．7.已知a,b,c,d∈[2,4]，则22222()()()abcdadbc的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x∈[1,5],|2x+px+q|≤2,不超过22pq的最大整数是__________9.设x=2222bcabc,y=2222acbac,z=2222bacba,且x+y+z=1，则201520152015xyz的值为___10.设12,,...,nAAA都是9元集合{1,2,3,⋯,9}的子集，已知|iA|为奇数，1≤i≤n,|ijAA|为偶数，1≤i≠j≤n，则n的最大值为____________三．解答题11.已知数列{na}为正项等比数列，且3412aaaa=5,求56aa的最小值12.已知f(x)为二次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成正项等比数列，求证：f(a)=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC的三边满足a>b>c，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sinsinacBacB14.从O出发的两条射线12,ll，已知直线l交12,ll于A、B两点，且AOBS=c(c为定值),记AB的中点为X，求证：X的轨迹为双曲线15.已知ia(i=1,2,3,⋯,10)满足：1210...aaa=30，1210...aaa<21，求证：ia，使得ia<1##Answer##2015北大自主招生数学试题第4页共7页1．1+2x=xy+yz+zx+2x=(x+y)(x+z)，同理1+2y=(y+z)(y+x),1+2z=(z+x)(z+y)(1+2x)(1+2y)(1+2z)=2[()(yz)(zx)]xy，对照前三个答案，只有A是一个完全平方数检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=-3,z=8.选A2.考虑将1,2,?,99这99个正整数分成如下50组(1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,?,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,?,98,99满足题意，此时50+51+?+98+99=3725。故选D．3.令t=cosx，令h(t)=2t-2at+1,t∈[0,1],g(a)=2(1)22,1()1,01(0)1,0haahaaaha作图象知最大值为1，选A4.2010-202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432555+5+1),432555+5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n的最大值为24，选D5.设四边形ABCD的面积为S，直线AC,BD的夹角为θ，则S=12AC?BD?sinθ托勒密定理推论12（AB?CD+BC?AD）sinθ≤12（AB?CD+BC?AD）,由已知两个等号成立，于是sin1ABCD、、、四点共圆于是AC⊥BD，BC⊥CD。用坐标法解得CD=43≈6.9。选A．6.x>0时，111+)xx（=111+)(1)xxx（>11+)xx（,12015111+)(1)2015xx（无解x<0时,x为负整数，设x=-n,111+)xx（=111-)nn（=(1)1()nnn=11nnn=1111nn是n的单调函数12015111+)(1)2015xx（n-1=2015x=-2016。填17.设a=(a,d),b=(b,c)，二者夹角为θ，则所求为2||||abab=2cos，如图2015北大自主招生数学试题第5页共7页xyOB(2,4)A(4,2)0≤θ≤∠AOB1≥cosθ≥cos∠AOB=||||OAOBOAOB=451625≤2cos≤1。填41258.设y=f(x)=2x+px+q,x∈[1,5]，它可以由y=2...
