(A)w={(x,x,x)eR3Ix=1}；11232(B)w={(x,(C)w={(x,x,x)e展3|x=x=x}；3123123(D)w={(x,444132145.设D=111224541522则A+A+A=212223A+A=0.2425《高等代数选讲》练习1.设4x4矩阵A=[a,y,丫,丫],B=[P,丫,丫,丫],其中a,P,y,丫,丫均为4维列向量，且123123123|A|=3,B=2，贝yA+B=402.中下列子集不是欣3的子空间的为(C).3.设a1，a2,a3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩⑷=3,R3a=[1,2,3,4]T,1a2+a3=[0丄2"，k为任意常数’则线性方程组AX=b的通解为.4.已知矩阵A的特征值为1,-2,3,则B=(2A+1丄1的特征值为1/3,-1/3,1/7.6.将f(x)=x5-1表示成x-1的方幕和的形式为°f'l"010-_123-_100-7•计算1004560-10001789_0014228.设矩阵A=242,2241.求矩阵A的所有特征值与特征向量；2.求正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。—2~2解：由-22-4竝二就_2）乜-8）得A的特征值为J—2A-4入二九=2（二重特征值），/^=&□当人二入=2时，由CV—Q疋二0,即：~-2-2-2_0~_r_r-2«■■.HV士=0-2-2-2_X3_0L_lji—4—2~2解：由-22-4T二伉_2）心_8）得A的特征值为总—2久—4人二入=2（二重特征值）?/^=&□当人二人三2时，由（人7—二0,即：~-2-2-2~o-2-2-2Xr=0-2-2-2_X3_0L_l令V30228则是A的一组单位正交的特征向量足一个正交矩阵得基础解系为戊m将其单位化得汕"-2-2\1O—霎4-2二0一2-240由（入/一获S即解：将各列都加到第1列并提出公因子得:==1n=（工+0〕=1x-a}二（兀+2＞）口（兀-见）2px+x+x12310试就p,t讨论线性方程组S2x+3tx+2x123x+2tx+xJ123=4=7解的情况，并在有无穷多解时求其通解。=4xaaa--a123naxaa--a123naaxa--a123n••••・••・•••・•••・aaaa-・x12349•计算n+1阶行列式：Dn+1解：対方稈组的增广矩阵[力⑹作初等行变换;P114"1t13_23t27->11114[12f14__P114口1t13■1t130t01―>Ot0101—pt1P4一011-pA-—2p1t13■1t13011-p4-―>011-7?4-2/?0r01[o03—1"1--4z-i-2ptC1)当3—(即戸H1且rHO)时，秩([4幻)=秩(^)=3,从而方程组有唯一解’2z-111—4z+2pr乂“=一・工\=(戸一1"f'J3—1"(2)当尹=1而1-4t+2pt=l-2t=0f也即“％时,秩(M^])=^)=2,从而方程组有无穷多解，此时增广矩阵变为；卩土13__1011M切-0102T010200000000得同解方程组*f码+花=2取自由未知量XJ=O得原方程组的一个特解yQ二(2,2,0]\在方程组的导出组中令自由未知量得原方程组的导出组的一个基础解系；忑严[T，0,1]：于是方程组的一般为:X=X.+kX[f其中氏为任意常数a(3)当戸二1丫而l-4z+2pr=l-2r^0,即2*时，有秩([A,b])=3>2=秩W从而方程组无解。(4)当20时，有1-4F+20HO,秩([A,b])=3>2=秩(旳从而方程组无解。_2400_120011•设A=0024，求An。000212证明：有理数域上含有实数根的1+-J1不可约多项式必是2次多项式。证明：设f(x)是Q上含有实数根1+\；'2不可约多项式，令g(x)=[x-(1*2)][x+(1+\；'2)],则g(^)=A"--2x-leQ[.r]且狀(兀)在Q上不可约。于是14血是/(力与直对在展中的一个公因式.从而在底中(/CO削Z)W1于是在Q中也有(八K),g(X0Hl,又由于不可约多项式与其它多项式要么整除要么瓦素，所以/(丸)与gC)在Q中相伴，即：/(乂)=苗3),所以f(x)是2次多项式
