页脚.一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45°）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形（三垂直模型）2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形:拓展：双三垂直相关结论：1•若△ADC和厶CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，若DF丄EF则DF=EF.2.若△ADC和厶CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，若DF=EF则DF丄EF.3•若△ADC为等腰直角三角形，DF=EF，DF丄EF则厶CBE为等腰直角三角形⑴⑵】⑶正方形专题一F■正方形中的三垂直结构⑴页脚.例1.如图，在正方形ABCD中.(1)若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF.试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；(2)若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN,问PQ丄MN成立吗？为什么？例2.如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM丄MN于M,CN丄MN于N,BR丄MN于R.(1)求证：△ADM9ADCN：(2)求证：MN=AM+CN；(3)试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想.例3如图，四边形ABCD是正方形，直线l,l,l分别通过A,B，C三点，且l〃l〃l,123123若I】与l2的距离为5,l2与l3的距离为7,则正方形ABCD的面积等于()例5如图，直线AB交x轴正半轴于点页脚.例4.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC,OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B(a,b)在第四象限且满足b=-2+\；2-a-2.(1)求点B的坐标；(2),E,F为OC,OA上的动点，连接BE,CF交于M点，满足ZOEF=45°，是否存在点E,F,使得BE丄CF?若存在，求出E,F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)F在线段0A上，连BF，作0M丄BF于M,AN丄BF于N,当F在线段0A上运动时(不与O、A重合),■的值是否变化•若变化，求出变化的围；若不变，求其值.满足2一4+|4—b|=0(1)求A、B两点的坐标；(2)D为0A的中点，连接BD,过点0作0E丄BD于F,交AB于E,求证ZBDO=ZEDA；(3)如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtAPBM,其中PB=PM,直线MA交y轴于点Q,当点P在x轴上运动时，线段0Q的长是否发生变化？若不变，求其值;若变化，求线段0Q的取值围.且a、b页脚.例题6、1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证:AF丄BE。2、已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN丄DM且交ZCBE的平分线于N。(1)求证：MD=MN；(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变,则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。例7、如图，正方形ABCD中,AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.(1)如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明;(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.例8.如图1,四边形ABCD为正方形，E在CD上,ZDAE的平分线交CD于F,BG丄AF于G,交AE于H.(1)如图1,ZDEA=60°，求证：AH=DF；(2)如图2,E是线段CD上(不与C、D重合)任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；(3)如图3,E是线段DC延长线上一点，若F是厶ADE中与ZDAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系(画图，直接写出结论，不需证明).BC第1题图第2题图第2题图页脚.例9.操作，将一把含45°的直三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式。（3）当点P在线段AC上滑行时，APCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置，...
