2［解专题：椭圆的离心率(e——或e2—1—［b2〕a(aJ那么椭圆的离心率e—2X2y212,椭圆T+不二1的离心率为2，那么m二［解析］当焦点在X轴上时,综上m=£或33,椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，那么椭圆的离心率是3X2y24,m,n,m+n成等差数列，m,n,mn成等比数列，那么椭圆一+一=1的离心率为mn2n二2m+n厂fm二2x2y2亠J2［解析］由］n2—m2nn>彳，椭圆—+——1的离心率为帀―In二4mn2mn丰012x2y235,+—=1(m>O.">0)那么当mn取得最小值时，椭圆+——1的的离心率为~mnm2n22x2y26,设椭圆一+厂=1〔a>b>0〕的右焦点为F,右准线为l,假设过F且垂直于x轴的弦的长等于点F到la2b2111111的距离，那么椭圆的离心率是2。，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1,在RtAABC中，ZA—90。,AB—AC—1，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率如下图，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB与BF交于D,且ZBDB］么椭圆的离心率为（）11b•(—b)—-1na2—c2-acne-4ac23,以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为FJ直线MF与圆相切，那么椭圆的离心率是^3—11变式〔1〕：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于M、N两点，如果当焦点在y轴上一，利用定义求椭圆的离心率1，椭圆的长轴长是短轴长的2倍,解：|AO|=a|OF|=c|BF|=aIAB|=晶+匕2a2+b2+a2=(a+c)2二a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2变式(1):椭圆J+—1(a>b>0)，e="严,A是左顶点,a2b22e2+e-e=©(舍去)F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求由椭圆的性质知0
b>0）的两焦点为F、F，以FF为边作正三角形，假设椭圆恰好平分正三角形的两边,a2b21212那么椭圆的离心率e?解FI=2c|BF|=cIBFI=j3cc+\：3c=2ae==\''3T1212a变式⑴：椭圆d+j=l（a〉b>0）的两焦点为F、F，点P在椭圆上，使AOPF为正三角形，求椭圆离心率?a2b2121解：连接PF2,那么IOF2I=|OF」=|OP|,ZFIPF2=90。图形如上图，ep-1变式⑵椭圆丄+j=l（a〉b>0）的两焦点为F、F，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF丄X轴，a2b2121PF〃AB，求椭圆离心率？b2|PF|bt解：TIPF|='IFFI=2c|OB|=b|OA|=aPF〃AB.VT='又Vb=7a2-c2ia212|FFIa215•：a2=5c2e=■5变式（3）:将上题中的条件“PF2〃AB〃变换为“PO〃AB（O为坐标原点）〃x2y2相似题：椭圆苕+「l（a>b>0），A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，ZABF=9°°，求e点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=21的椭圆为优美椭圆。性质：⑴ZABF=90°⑵假设下端点为B「那么ABFB1四点共圆。〔3：焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。22变式⑵：椭圆匚+工-=1（a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D,假设四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,a2b2那么椭圆的离心率e=提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c,又等于直角三角形AOB斜边上的高，・•・由面积得：ab=r-a2+b2,但r=c4，设椭圆乞+亡=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，如果椭圆上存在点P,使ZFPF=90。，求离心率ea2b21212的取值范围。解：设P（x,y），FCc,0）,F（c,0）法1：利用椭圆范围。、、,a2c2—a2b2a2（c2—a2）由FP丄FP得x2+y2=c2，将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得x2==12a2—b2e2附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围〔与法1类似：2=90。=90。解法6：巧用图形的几何特性由ZFiPF2=90。，知点P在以\FiF2\=2c为直径的圆匕又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P,故有c>bnc2>b2=a2—c2变式⑴：圆J+牛a2b2点，且ZPFF=5ZPFF，求椭圆的离心率e1221分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。IFFI解：由正弦定理：亠1冷sinFPF12=l(a〉b>0)的两焦点为F〔-c,0〕、F(c,0),P是以丨FF丨为直径的圆与椭圆的一个交_IFPIsin—1—FFP1212PF2根据和比性质：IFFIIFPI+IPF十2十sinFPF12sinZPFF12sinFFP+sinPFF1212IFFIPFI+IFPI2一sin90°e=sin75°+sin15°变形得：sinFPF2c1§==esinFFP+sinPFF2a1212;1-卫3sinFPFesinFFP+sinPFF1212变式⑵：椭圆...
