第二章标量衍射理论部分习题解答及参考答案[2-1]在基尔霍夫衍射公式（2-2-16）或（2-2-20）中，同时对光场及其法向导数施加了边界条件，从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性，索末菲选择了换用格林函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面1S上为0,这时就不必同时对光场及其法向导数施加边界条件。例如，可以选择G同时由观察点0P及其对衍射屏的镜对称点0~P各自出发的同相位的单位振幅的球面波给定（图X2-1）,即01~01~0101rereGrikikr+=+式中，01~r是0~P点与1P点间的距离。(1)试求：()PG+在衍射屏上的法向导数；(2)欲将观察点的复振幅用衍射孔Σ上的光扰动来表示，需要什么样的边界条件？(3)利用(2)的结果，求出孔径被从2P点发出的单色球面波照明时，()0PU的表达式。图X2-1习题[2-1]图示解：由题设有：()()()()01010110110101010101012/11cos,cos,0ikrikrikrnGPerGPeenriknrikrrrr++�=�∂�����=−+−=�����∂�����%%%%将上述结果代入式（2-2-16）得：()0100111dd42ikrUUeupGSSnnrππ+Σ∑∂∂=+=∂∂∫∫∫∫这时只需对nU∂∂应用基尔霍夫边界条件。当()211/21rAePUikr=时，则有：()()()21212121211/,cos1,cos2121rernAikrerikrnAnPUikrikr≈��������−=∂∂最后得：()()()∫∫∑+−=SrnrreiAPUrrikd,cos21210102101λ[2-2]如果选择格林函数为：01~01~0101rereGrikikr−=−其中“－”号表示由0P点和0~P点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下，完成上题中的(1)、(2)和(3)。解：由题设有：()()()()()010101101010101010101010101011cos,cos,12cos,2cos,ikrikrikrikrGPGeenriknriknrrrrenrikrriknre−−=����∂=−−−����∂������=−����≈⋅%%%%01/r�����������将上述结果代入式（2-2-16）得：()()()∫∫∑=SrnrePUipUikrd,cos101011001λ于是只需对U施加基尔霍夫边界条件。[2-3]在圆孔的夫琅和费衍射花样中，设观察平面上的总光能流为I,半径为0r的圆面内所分布的光能流等于()0rIi，它占总光能流的百分比为()0rF.试求出()0rF的表达式，并与教材中表2-5-1进行比较。解：由公式（2-5-8）和（2-5-9），分布在小圆环rrd2π上的光能流等于()rrrId2π，其中()rI是光能流密度（光强度），它是��������=zrk2d0ψ的函数。在半径为0r的圆面积内所分布的光能流为：()()()()∫∫∫������������=⋅==ψψψψψψλπψπλψλππ02120000dJ2d2d20dzIdzdrIrrrIrIri而分布在整个观察平面上的光能流为：()∫∞������������=02120dJ2ψψψψλπdzIIs故：()()()()()()∫∫∫∫∞∞������=������������==02102102102100dJ/dJdJ/dJψψψψψψψψψψψψψψψψsiIrIrF根据贝塞尔函数公式：()[]()()()()()[]()()()()�������′−=��→�−=′−=→==+−−JJJJddJJJJJdd0101n10101ψψψψψxxxxxxxxxxxnnnn()()21由()()1J1×ψ得：()()()()()()()()()[]()()[]ψψψψψψψψψψψψψ21201100110121JJdd21JJJJJJJJJ+−=′+′−=′−=所以()()()()()[]()()()()[]0J0JJJ/0J0JJJ21202120212021200−−∞+∞−−+=ψψrF因()()()()0J0JJ,10J1100=∞==∞=故：()()()ψψ21200JJ1−−=rF附图2-1()0rF随ψ变化其函数曲线如附图2-1所示，与第一，第二和第三暗环（即当=ψ3。832，7。015和10。173时）对应的()rF值分别为0。839，0。910和0。938，因而，大约84%的光能包含在以第1暗环为界限的圆内，大约7%的光能包含在第一和第二暗环之间，等等。[2-4]试证明关系式（2-5-15）。解：圆环光孔的面积为：()()22221επεππ−=−=aaaD将上式代入式（2-5-14）得：()()()()22210102022002J/2J///1CDkarzkarzIrkarzkarzεεεε��������=−��������−������（1）令()222201,/ε−==DCMzkarx，在衍射斑中心处其强度极大值由式（1）求导解得，即：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()������−−−⋅������−=����������−′−−′⋅������−=������−′−−′⋅������−=21021012121...
