20.6反比例函数复习反比例函数与一次函数综合题举例同学们知道，函数是在探索具体问题中的数量关系和变化规律的基础上抽象出来的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型．学习八年级上册时大家学过一次函数，现在又学习了反比例函数，相信同学们已经逐步形成了对函数概念的整体性认识从函数图象中获取信息的能力也得以逐步提高．下面几例是与反比例函数、一次函数有关的综合性试题，请大家试试身手吧．解析附后，仅供参考．例1（青海）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则点的坐标是．解析：这是一例反比例函数与一次函数的图象交点问题，综合考查函数与方程组等知识．解方程组可得或，即反比例函数与一次函数有两个交点和．因为题中有条件，所以交点的坐标是．例2（黑龙江）如图，函数与在同一坐标系内的图象大致是（）解析：该例综合考查反比例函数与一次函数的图象和性质以及分类讨论的数学思想．根据的正负性分类讨论可知：时，双曲线分别在一、三象限；直线过一、二、三象限．时双曲线分别在二、四象限；直线过二、三、四象限．综上所述，选项Ｂ是正确的．例3（贵州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．解析：该题综合考查反比例函数与一次函数表达式的确定、待定系数法，同时考查同学们从函数图象中获取信息的能力．（1）将代入中，得．所以反比例函数的解析式为；将代入解析式中，得．将，代入中，得，解得，所以一次函数的解析式为．（2）由图象可知：当或时，反比例函数的值大于一次函数的值。反比例函数中系数K的几何意义如图1，过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为：.又，∴．这就是说，过双曲线上任意一点作轴，轴的垂线，所得的矩形的面积为．这就是系数的几何意义，明确了的几何意义，会给解题带来方便，现举例如下．例1如图2，在反比例函数的图象上任取一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，那么四边形的面积为．析解：．例2一个反比例函数在第三象限的图象如图3所示，若是图象上任意一点，轴，垂足为是原点，如果的面积是，那么这个反比例函数的解析式是．析解： 的面积是矩形面积的一半，∴．又 ，∴．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．∴．又 双曲线在第三象限，∴，∴.∴所求反比例函数的解析式为．例3如图4，是函数的图象上关于原点的任意一对对称点，平行于轴，平行于轴，的面积为，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．析解： ，又 轴，∴．∴，而，∴，.例析反比例函数中的常见错误与反比例有关的问题，几乎在每份中考试题中都可以找到，从题形来看，有选择题、填空题，还有解答题，主要考察反比例函数的概念、图象及性质，但初学者，由于对反比例函数的概念、图象、性质等理解不透彻，常出现错误，现对常见错解加以剖析：一、概念不清，导致失误例1当为时，函数是反比例函数．错解：根据反比例函数的定义，得，即．解得．错解分析：错解忽略了中的是反比例函数定义的重要组成部分．本题的不仅满足而且更要满足．正确解法：根据题意，得由①得，由②得，∴．二、对性质不能充分理解，导致错误例2在函数(为常数)的图象上有三点，，，且，则函数的大小关系是（）．．．．错解：是反比例函数，且，∴随的增大而增大 ，∴，故选．错解分析：当时，反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每一象限内，随的增大而增大，而点，，不在同一象限内，因而不能由得到．正确解法： ，∴随的增大而增大，且函数图象分布在二、四象限内，． 在第四象限，而和在第二象限，∴，∴．故选．三、画图象时，忽略自变量取值例3甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间（小时）表示为汽车速度（千米/时）的函数，并画出函数的图象．错解：由，得．用描点法画出函数的图象．错解分析：错解中忽略了自变量的取值范围，而误认为．正确解法：由，得．用描点法画出函数的图象．物理中的反比例函数九年义务教育初中数学教学要求中指出“解决实际问题主要是能够解决带有实际意义的和相关学科中的数...
